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카페 [574950] · MS 2015 · 쪽지

2016-08-31 17:01:47
조회수 443

작년 9월 모평 수학B 30번에 대해 질문드립니다.

게시글 주소: https://mission.orbi.kr/0009040957

작년에 몇몇분들이 이 문제가 평균값 정리로 설명될 수 없다고 강조하셨는데

저 같은 경우는 이 문제를 설명하기 위해선 부분적으로 평균값 정리가 필요하다고 생각합니다.

여러분들이 제 풀이가 논리적인지의 여부를 확인해주시고 비판해주시길 부탁드립니다.

우선,

조건 (나)에서 f(x2)-f(x1)>=x2-x1 에서 f(x2)-f(x1)/x2-x1>=-1이 나옵니다. (0<=x1<x2)

이때,

(i) 임의의 x1 (x1은 [0,무한대)구간의 실수)에 대해 lim(x2->x1) f(x2)-f(x1)/x2-x1 = f'(x1)

(ii) 또한, 0<=x1<x2를 만족하는 임의의 x1, x2에 대해 f(x2)-f(x1)/x2-x1=f'(c)를 만족하는 c(x1<c<x2) 가 평균값 정리에 의해 존재하고 c는 [0,무한대)에 속하므로, 모든 f'(c)를  (i)의 f'(x1) (x1은 [0,무한대)구간의 실수)에 대응시킬 수 있다.

(iii) 따라서  f(x2)-f(x1)/x2-x1 (0<=x1<x2)이 나타낼 수 있는 값의 범위는 f'(x)의 [0,무한대) 구간에서의 모든 함수값이라고 할 수 있다.

(iv) 따라서 조건 (나)를 만족시키기 위해선, 모든 [0,무한대)의 x에 대해 f'(x)>=-1이어야 한다.


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카페 [574950]

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  • 이마이 · 446193 · 16/08/31 17:18 · MS 2013

    ii)에서
    c와 x1을 동일시 하셨는데
    사실 이게 문제가 되기 때문에 평균값정리를 쓰면 안 된다는 말이 나온 거였습니다.
    엄밀하게 따져보면, c는 x1과 x2 사이에 있는 수인데, x1과 x2 사이의 간격을 아주 작게 잡아도 그 사이에는 무한히 많은 실수가 있지요. x1, x2가 실수이기 때문에 그렇습니다.
    그래서 c는 x1보다 개수가 적고
    따라서 f'(c)가 f'(x1)에 일대일대응을 할 수 없습니다.
    그래서 iv)에서 언급했듯 f'(x)>=-1이라고 단정할 수 없게 되는 거고요.

    개인적으로는 평균값정리를 써도 무방하다는 생각이 드는 게, 이걸 단조증가로 해석하는 풀이보다 평균값정리로 해석하는 풀이가 더 맞다고 느껴져서 그렇습니다. 교과서에서도 평균값정리를 설명할 때 위 문제의 예시나 설명에 나와있는 문구를 그대로 쓰기도 하고 그래서, 이 문제를 보고 평균값정리를 떠올린 분들이 단조증가를 떠올린 분들보단 훨씬 많았을 겁니다.
    물론 수학에 일가견있는 학생들이라면, 또는 엄밀하지 않아서 불안한 학생들이라면 평균값정리로 진행하다가 중단하고 단조증가의 힌트를 찾기도 했을 거고요.

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  • 카페 · 574950 · 16/08/31 17:40 · MS 2015

    c가 x1보다 개수가 적어서 x1이랑 1대1 대응을 할 수 없다고 하셨는데 어쨋든 간에 임의의 x1, x2 의 경우에 대한 평균값 정리로 인해 도출된 c라는 녀석은 구간 [0,무한대)에 속해 있기 때문에 f'(x)에서 [0,무한대) 에 속한 "어떤" x에는 "무조건" 대응시킬 수 있다는 의미입니다. 엄밀히 따지면 다대일 대응으로 보여지네요.

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  • 카페 · 574950 · 16/08/31 17:43 · MS 2015

    따라서 어떤 x(0<=x<무한대)에는 대응시킬수 있기 때문에 (i), (ii)에 의해 f(x2)-f(x1)/x2-x1이 가질 수 있는 값의 한계는 f'(x)의 [0,무한대) 에 해당하는 모든 함수값으로 한정지을수 있게 되므로 f'(x)>=-1이라는 결론이 나온 것입니다.

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  • 카페 · 574950 · 16/08/31 17:44 · MS 2015

    당연히 c가 [0,무한대)의 모든 값에 대응되지는 않겠죠. c랑 x1을 동일시한것처럼 보였던 것은 표현상의 문제로 보이네요.

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  • 이마이 · 446193 · 16/08/31 18:08 · MS 2013

    자세히 다시 읽어봤습니다.

    f'(x)의 구간 내 모든 값을 f(x2)-f(x1)/x2-x1이 표현할 수 있다고 하셨는데, lim가 있고 없고의 차이는 큽니다. 일단 lim가 붙었다는 것 자체로 결과값이 확정값이 되는데, f(x2)-f(x1)/x2-x1의 경우 x2가 x1에 한없이 다가가더라도 리미트를 붙인 확정값과 동일할 수는 없습니다. 이는 칼큘러스에서 나오는 엡실론-델타 논법을 알고 계시다면 생각하실 수 있고, 아니면 반례로 y=x^3에서 변곡점의 미분계수를 평균변화율이 표현할 수 없다는 것을 생각해보셔도 됩니다.

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  • 카페 · 574950 · 16/08/31 18:15 · MS 2015

    제가 수학과가 아니라서 그 부분에 대해 깊이 다루지는 않았습니다. 그렇다면 f(x2)-f(x1)/x2-x1은 f'(x)의 특정 구간내의 함수값을 표현할 수 없다는 것인가요?

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  • 이마이 · 446193 · 16/08/31 18:41 · MS 2013

    네. 그게 핵심입니다.

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  • 이마이 · 446193 · 16/08/31 18:38 · MS 2013

    f'(c)가 f'(x1) 하나하나에 대응은 할 수 있겠지만 그게 f'(c)가 f'(x)의 모든 값을 표현할 수 있다는 뜻은 아니라는 것으로 생각하셔도 될 것 같습니다. 결국 c의 개수 문제로 넘어가게 되고요.

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  • 카페 · 574950 · 16/09/01 02:36 · MS 2015

    그럼 (i) 에서 lim를 취해서 설명한 f'(x1)의 경우도 표현할 수 없다고 봐야하는거나요? 유튜브에 올라와 있는 일부 인강강사들의 풀이를 보면 (i)로 설명하시는 분들도 꽤 있네요.

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  • 이마이 · 446193 · 16/09/01 07:16 · MS 2013

    i) 자체로는 문제가 없는데, 그 이후의 전개가 논리적으로 오류가 있는 거라서.. 엄밀하게 따지자면 그렇다는 거고요, 처음에 언급했듯이 저는 평균값정리로 해석해서 푸는게 약간의 비약이 있더라도 수능의 입장에서는 단조증가 풀이보다 더 낫다는 생각입니다. 문제의 지표들이 모두 평균값정리를 떠올리도록 유도된 느낌의 문제에요.

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  • 카페 · 574950 · 16/09/02 15:16 · MS 2015

    이후의 전개가 왜 오류가 있는지 전 아직 이해가 안됩니다. (i)이 맞다고 하면, 이제 임의의 x1, x2에 대해서도 성립하는 지를 봐야하는데, 임의의 x1, x2에 대해 대응하는 f(x2)-f(x1)/x2-x1이 모두 f'(a) (0<=a<무한대) 범위 사이에 있는 것을 보였으므로 전 모든 증명이 완료된 것으로 보이네요. i)에서 리미티 확정값과 f(x2)-f(x1)/x2-x1이 동일 하다고 할 수 있다는 전제하에서요.

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  • 이마이 · 446193 · 16/09/02 16:30 · MS 2013

    f'(x)와 f(x2)-f(x1)/x2-x1이 같지 않음을 보이면 위 증명이 오류가 있다는 것 까지는 이해가 되시죠?
    예를 들어 y=x^3에서, x=0에서의 미분계수는 0이지만, 임의의 x1,x2에 대하여 f(x2)-f(x1)/x2-x1은 절대 0이 될 수가 없지요. 즉, f'(x)와 f(x2)-f(x1)/x2-x1은 같다고 단정지을 수 없다는 뜻입니다.
    더 엄밀하게 증명하려면 lim를 증명하는 과정부터 시작하면 되는데, lim를 증명하려면 엡실론-델타를 이용해야 하고요. 고등 교과서에 있는 'lim=한없이 다가간다'는 증명하려면 대학 과정을 끌어와야 하니 그냥 저렇게 말로 뭉뚱그린겁니다. 즉, 리미트의 정확한 정의는 고등 교과서에서는 알 수가 없습니다. 그래서 질문하신 분의 논리가 그럴듯해보이지만 엄밀하게 따져보면 틀렸다는 거지요.

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  • 이마이 · 446193 · 16/09/02 16:40 · MS 2013

    1.
    ii)에서 f'(x1)과 f'(c)가 같다는 게 아니라 f'(x1)이 있으면 그에 따른 f'(c)가 존재한다 라고 이해했는데 이런 뜻이 맞나요?

    2.
    만약 맞다면 iii)에서 f(x2)-f(x1)/x2-x1이 (0,무한대]에 있는 모든 실수 x에 대하여 f'(x)가 가지는 함숫값을 모두 가질수 있다는 말이 틀렸다는 겁니다. 이에 대한 수학적인 설명은 바로 위 댓글에 해뒀고, 제 생각엔 하나의 f'(c)가 중복해서 서로 다른 f'(x1)에 대응할 수도 있다는 걸 간과하신 것 같습니다.
    또, x2를 임의의 수라고 정했기때문에 f'(x1) 하나에 무한히 많은 f'(c)를 대응시킬 수 있으니 사실 하나씩 대응시키는 건 크게 의미가 없습니다. 게다가 c의 개수가 (0,무한대]에 있는 실수 x의 개수보다 적기 때문에 모든 f'(c)가 모든 f'(x)를 표현할 수 있는 것도 아니고요.

    3.
    만약 아니라면 f'(x1)과 f'(c)가 명백히 다른 값이기 때문에 이것도 틀린 게 됩니다.

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