풀만한 수열의 극한 문제 하나 드립니다~
답.txt
제가 만든거 아닙니다..그래서 퀄리티도 그렇게 나쁘지 않을겁니다..
원문링크는 아래와 같습니다.
https://www.artofproblemsolving.com/community/u296133h1220663p6119372
링크 댓글에 제가 허접한 영어실력으로 풀이를 달긴 했는데 저의 작문 실력을 보이고 싶지 않으니 그냥 무시하시면 됩니다..답은 첨부파일에!
(링크가 뭐 엄청 대단한 문제처럼 돼있는데 실상은 그렇진 않은 것 같습니다..)
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엡델 안쓰고 교과과정 내에서 어떻게 답을 구할 수 있을지 잘 모르겠네요. 풀이 보여주실 수 있으신가요?.?
그냥 대입해서 계산하다보면 x4, x5의 절대값이 1/4보다 작습니다. f(x)=x^2+x/2라고 할 때, x2n, x(2n+1)의 절대값이 a보다 작고 a가 1/2보다 작으면 x(2n+2), x(2n+3)의 절대값이 f(a)보다 작음을 절대부등식을 통해 할 수 있습니다. n이 1씩 커질수록 절대값 제한에 f가 덧붙여지고, 이때 링크의 제 풀이에서는 f가 덧붙여지는것을수열로 표현했는데, 여기에 f가 붙을수록 0에 수렴함을(말로 표현하려니 이렇게 밖에 안되네요..) 증명할 수 있습니다.(이는 등비수열에서 공비가 1보다 작으면 0으로 수렴함, 샌드위치 정리에 의해 증명되지요.) 절대값 제한이 0에 수렴하니까 결국 샌드위치 정리에 의해 xn자체도 0에 수렴하게 되지요. 링크의 풀이에는 제가 엡델을 썻는데 그냥 제가 입델을 좋아해서 쓴 것이고, 굳이 쓸 필요는 없다고 생각합니다만...
샌드위치가 먹힐 줄 몰랐네요. 감사합니다