Convergence of the limit set
Proposition. Let $\Gamma_i$ be a sequence of isomorphic quasi-Fuchisan groups which converge geometrically to a group $\Gamma_G$. (In modern terms, $\Gamma_i$ is an element of $AH(\pi_1(S))$ for some surface $S$) Suppose that there is a $\delta>0$ such that the limit set $\Lambda(\Gamma_i)$ is not contained in a disk of radius $\delta$ on $S^2$. Then $\Lambda(\Gamma_i)\to\Lambda(\Gamma_G)$ in a Hausdorff topology of $\hat{\Bbb C}$.
여기서 $\Gamma_i$들이 서로서로 isomorphic하다는 것을 빼면 반례가 존재하는데, Kleinian group의 residual finiteness에 의해서, 임의의 Kleinian group $\Gamma_0$가 있으면, $\Gamma_0>\Gamma_1>\Gamma_2\cdots$ 가 되는 sequence of finite indexed subgroup 이 존재하고, 이 sequence의 geometric limit은 trivial group이 된다.
만약 quasi-Fuchsian group들 $\Gamma_i$가 algebraically convergent 하면, limit group도 non-elementary하기 때문에, 가정인 $\Lambda(\Gamma_i)$가 어떤 $\delta$-disk in $S^2$에 들어가지 않는다는 가정을 만족한다. 따라서, algebrically convergent하는 quasi-Fuchsian group $\Gamma_i$들에 대해서, $\Gamma_i\to G$가 geometrically convergent 하다면, $\Lambda(\Gamma_i)\to\Lambda(\Gamma)$ in Hausdorff topology가 된다.
Proof of proposition. 증명에 아주 crucial하게 적용되는 내용이 있는데 그걸 먼저 서술하겠다.
$$K_{\Gamma} = \{x\in\Bbb H^3\mid d(x,\gamma x)<K,\text{ for some nontrivial }\gamma\in\Gamma\}$$
여기서 $d$는 hyperbolic metric이라고 한다면, 어떤 constant $K$가 존재해서, 모든 quasi-Fuchsian groups isomorphic to $\Gamma$에 대해서, convex hull of the limit set $H_{\Gamma}$ (Nielsen convex region 이라고도 한다) 는 항상 $K_{\Gamma}$에 들어가 있다. 다시 말해서, convex core $H_{\Gamma}/\Gamma$는 embedded hyperbolic ball of radius $>K$를 갖지 않는다는 것. (In particular, 만약 주어진 sequence가 있을 때 (quasi-Fuchsian이 아니어도 됨), 그 sequence의 convex core의 injectivity radius에 uniform upper bound가 존재한다면, 우리는 이 증명을 그 sequence에 그대로 적용할 수 있다.)
$\epsilon>0$이 주어졌다고 하자. 주어진 quasi-Fuchsian group과 isomorphic한 $\Gamma$를 적당히 conjugate을 해서, $H_{\Gamma}$가 $\Bbb H^3$의 origin을 포함하도록 설정한다. 그러면, 임의의 $x\in\Lambda(\Gamma)$에 대해서, 어떤 $y\in H_{\Gamma}$가 있어서, $d_E(x,y)<\epsilon$이 되도록 고를 수 있다. 여기서 $d_E$는 $\Bbb H^3\cup S^2$ 에서의 Euclidean metric을 의미한다. 그러면, $H_{\Gamma}\subset K_{\Gamma}$에 의해서, $\epsilon$을 필요하다면 더 작게 잡아서, 어떤 nontrivial element $\gamma\in\Gamma$가 존재해서, $d(y,\gamma y)<K$가 되고, 따라서 $d_E(x,\gamma y)<\epsilon$을 만족하도록 잡을 수 있다. 그 이유는 Euclidean metric과 hyperbolic metric의 차이에 의해서 나타난다. 만약 $y$가 충분히 $S^2$에 가까이 가면, hyperbolic metric의 움직임은 Euclidean metric의 관점에서는 움직임이 거의 없기 때문. 더 중요한 것은, 우리는 저러한 $\gamma$의 norm을 그냥 Lie group norm $\mathrm{PSL}_2\Bbb C\subset\Bbb C^4$에서 주어진 $\epsilon$에 대해서 bound를 할 수 있다. 그 이유는, $y$에서 원점 $O$와의 hyperbolic distance는 bounded 되어 있고 origin이 $\gamma$에 의해서 움직이는 것은, $y$가 $\gamma$에 의해서 움직이는 것과 $y$와 $O$사이의 거리에 대한 연속 함수로 표현할 수 있기 때문이다. 원점 $O$가 움직이는 거리를 bound시키는 것은 $\gamma$의 norm을 bound 시키는데, 그 이유는 $O$의 isotropy subgroup은 compact이기 때문.
저러한 estimate은 처음 $K_\Gamma$의 성질만 썼기 때문에, 모든 $\Gamma$와 isomorphic한 quasi-Fuchsian group $\Gamma_i$ s.t. $O\in H_{\Gamma_i}$에 대해서 성립한다. $\Lambda_{\Gamma_i}$ 들이 $\delta$-disk 안에 포함되어있지 않는다는 가정에 의해서, 우리는 $O\in H_{\Gamma_i}$의 estimate의 가정을 만족시키기 위해 conjugate하는 element들의 norm이 uniformly bounded 되어 있다는 것을 알 수 있다. 따라서, 주어진 $\Gamma_i$ sequence에 대해서, $O\in H_{\Gamma_i}$를 모든 $i$에 대해서 만족 시키면서, 위의 estimate이 $\Gamma_i$ 들에게 uniform하게 적용된다고 가정할 수 있다.
Fix된 $\epsilon>0$에 대해서, 만약 $x_j\in\Lambda(\Gamma_{i_j})$가 $x_j\to x$가 된다고 한다면, $x\in\Lambda(\Gamma)$를 보여야 한다. 이 경우에는 위의 uniform estimate에 의해서, $\{y_j\}\in H_{\Gamma_{i_j}}$, $\{\gamma_j\}\in\Gamma_{i_j}$가 존재해서 $d_E(x_j,y_j)<\epsilon, d_E(x_j,\gamma_jy_j)<\epsilon$ such that $\gamma_j$의 norm이 bounded 되는 것을 가정할 수 있다. $\gamma_j$들의 norm이 bounded 되어 있기 때문에, $\gamma_j$는 어떤 nontrivial element $\gamma$로 convergent 하는 subsequence를 잡을 수 있다. Geometric convergence의 정의에 의해서, $\gamma\in\Gamma$다. 만약 $y$가 $y_j$의 accumulation point라고 하면, $d_E(x,y)\leq\epsilon, d_E(x,\gamma y)\leq\epsilon$이 되고, $\epsilon$은 arbitrary했기 때문에 $\Gamma$는 $x$에서 discontinuous action을 주지 않는다. 따라서 $x\in\Lambda(\Gamma)$.
만약 $x\in\Lambda(\Gamma)$라면 우리는 $x$로 converge하는 sequence $\{x_i\}\in\Lambda(\Gamma_i)$를 찾아야 한다. Kleinian group의 element들의 fixed point들의 limit set에서의 density에 의해서, $\gamma_j\in\Gamma$가 존재해서, $\gamma_j$의 fixed point $x_j$가 $x$로 convergent 하게 할 수 있다. 근데 $\Gamma$는 $\Gamma_i$의 geometric limit이기 때문에 각각의 fixed $j$에 대해서, $\gamma_j$로 converge 하는 $\{\gamma_{j_i}\in\Gamma_i$가 존재한다. 각각의 fixed된 $j$에 대해서, $\gamma_{j_i}$의 fixed point $x_{j_i}$가 $x_j$와 떨어진 거리가 $\leq 1/j$ for all large $j>I_j$를 잡을 수 있다. $I_j>I_{j-1}$이 되도록 설정을 하면, $\{x_i\} = \{x_{j_i}\}$, $I_{j+1}\leq i\leq I_j$ 가 원하는 sequence가 된다. $\square$
Rmk. 가정에서의 $\delta$-disk 가정도 중요하지만 그 보다 주어진 sequence의 injectivity radius의 uniform upper bound가 더 중요하다. 그리고 증명에 나온 element들의 norm의 boundedness를 이용해서 uniform estimate을 이용하는 논증은 중요한 정리들을 증명하는데 꽤나 많이 나오는 논증법이다. (e.g. Mumford compactedness theorem)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
백환 추석특강 0
3일인데 수강료 어느정도함??
-
스팸문자와서 이렇게 보냈는데 조선족한테 잡혀가는거…?
-
그럼 의사보다 간호가 난 거 같은데 공부량 차이는 1000분의 1인데 레이저 공장 개원하면 ㅗㅜ
-
생소하네 뭔가 어려움의 결이 다른 듯
-
4년전쯤 강대에서 나감 남자 못생김 꽤알려진인물 미트지문추천해주고감
-
학추 담임 0
제목 그대로 학교장 추천을 담임이 반대합니다… 제가 3.61인데 한양대를...
-
간식 마려운데 0
당 떨어진다 근데 먹으면 살찌는데 ㅠㅡㅠ
-
실재로 있다!
-
뿌듯하네요
-
시발점 전부 학습 -> 쎈B랑 워크북으로 복습하고 끝 아니면 시발점 한챕터 끝나면...
-
수능원서접수 0
5시까지인거로 아는데 4시 40분까지 가도 접수 가능할까요?
-
업보는 돌아옴 4
작년 고등학교 반에서 공부는 잘하는데(당시 9모 2틀)사탐,확통하는 애들...
-
기출 풀면 풀수록 전에 쓰였던 지문의 소재와 구조가 비슷하다는 것을 깨달아가고 있는...
-
오르비 초창기때 활동하셨던 분들은 지금 뭐하실까요??? 1
대부분 오르비는 까마득하게 잊으셨겠죠??? 그남 궁금하네요
-
정병호 진짜 개너무하네 10
문제에 f(x) g(x) h(x) a b p q t 혼자다쓰면 난 문제를 어케 푸나?
-
물리 화학 생명 지구 다 이해 못함 물리나 지구는 그냥 아~ 그렇구나~ 하는데...
-
맨날 한문제는 죽어도 손 못댐 돌연변이 ㅅㅂ 배우면 뭐하냐 풀시간이 안되는데
-
현재 3학년리고 1학년때부터 상경계열로 생기부 써왔습니다 국어랑 사회는 2.00인데...
-
언매 확통 정법 사문 13211 정도고 로스쿨 진학 목표 중인데 재수해서 스카이...
-
미적 반수생에 작수 원점수 80으로 2였고 올해 6월 68에 8덮 66입니다. 강k...
-
접수완료 10
d-78 치타가 달리기 시작했다
-
공부해라 0
ㅇㅇ
-
78일동안 가능할지
-
헤헤ㅔ
-
물1 진짜 갖다 버려야 하나…
-
원서접수 완료 13
-
팩트는 3
나도 사탐런이라는거임
-
사탐런 상관없다 2
어짜피 그들보다 내가 수능을 더 잘 볼것이기때문
-
간호사 떡상? 의사 하락? 다들 어떻게 보심?ㄷㄷ
-
이지랄로만드냐고요싯빨 과탐하는친구가 지금 생윤사문해도 50 아님? 걍 할까?...
-
‘진료 지원(PA) 간호사’ 합법화 근거를 담은 간호법 제정안이 28일 국회...
-
사람런은 이러니저러니 해도 이과생이 탐구선택에서 사탐을 한 과목 내지 두 과목...
-
화교 전형으로 내신 5등급대인 중국인 친구중에 성균관대, 고려대를 외국인...
-
최근 입시판 관심끄고 살았는데 사탐런하는 애들 욕한다길래 그냥 그런식으로 제도를...
-
삼반수생 자퇴 0
삼반수 준비중인데 대학 라인을 올리고싶은것 보다는 과가 너무 안맞아서 그냥...
-
메가 대성 패스있습니다
-
듣기까지 풀로 있는거 추천 부탁드려요 지금 마피,더데유데만 하는데 더데유데 버릴까 싶어서...
-
더배트맨 봤습니다
-
유전문제 가계도같은거 혼자 풀고 하나하나 저렇게 분석중인데 강의 듣는게 좋을까요?...
-
사탐사탐거리는데 4
사탕 먹고와야지 힘들땐 당보충 중요해!
-
상황파악 안되고 여길 가려는 과탐 456등급도 꽤 보이던데 얘네는 경제 1...
-
다들 그러길래.. 걍 상상이 이감보다 쉬워서 자기합리화하는건지 객관적으로 진짜...
-
사탐런..? 15
현재 생1 지1 선택입니다. 지구는 괜찮을 거 같은데 수능 때 생1 전망...
-
들어오는 과탐표본이 너무 월등해서 저능아 사탐애들이 참교육당한다<———이건 개소리가...
-
후~~~유~~~~ 네 날개도 나와 같은 아픔인 걸까
-
지방(광역시)이고 여자 이관인데 제2외국어 하는게 이득일까요?? 분위기때문에요
-
상경논술이랑 비슷한건가요? 음..
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.