근의 분리 상위호환
과외준비를 하다가 이번 6모 15번과 작년 9모 13에가 어떤 관점이 동일하게 쓰인다는 것을 알았는데요,
특히 9모 13번을 이렇게 푸는 것은 처음 봤다고 하네요.
앞으로 근의분리는 쓰지 마세요. 오늘 알려드리는 이 방식이 근의 분리를 거의 완전히 대체할 수 있습니다
(글 맨 마지막에 조건 달아뒀습니다.)
사실 저는 그렇게 특이한 접근인지는 모르겠습니다. 수학(상)을 열심히 공부했다면 이게 가장 자연스러운 접근이죠. 아무튼 과외생을 보며 이걸 여러분께도 소개해드리면 나름 의미가 있겠다고 판단되어 글로 쓰게 되었습니다.
일단 이번 6모(2025학년도)입니다. 문제를 다 풀진 않을거고, 맨 마지막 부분만 볼게요. (나) 조건을 통해 k=2인 것까지 구한 상황입니다.
k=2니까 g(x)가 미분가능하려면 f(2)=2, f'(2)=2여야 합니다. 최고차항 계수가 1인것도 아니까, 문자 하나만 가지고 식을 세울 수 있습니다.
이렇게 말이죠.
(가) 조건에 의하면, 얘가 x가 2보다 큰 곳에서 항상 증가해야 합니다. 그럼 당연히 도함수 관찰을 해야겠죠.
아, 센스 있게 2만큼 왼쪽으로 평행이동해서 봐도 되는데(저도 풀 때 그렇게 했구요) 헷갈리는 독자도 있을 수 있기에 여기선 그대로 갈게요. 괜히 과정 추가하지 않겠습니다.
아무튼 미분해보겠습니다.
냅다 판별식 쓰면 안 된다는 것은 알고 계실겁니다.
함수가 x축과 두 번 만나지만 x가 2보다 클 때는 x축보다 위에 있을수도 있으니까요.
난 그냥 그렇게 해서 맞았는데? 하시는 분들은 운이 좋으신 겁니다. 이 문제에선 결국 그게 답이긴 하더라구요 ㅋㅋ
여기서 a 범위를 나눠서 푸는 분들도 있습니다.
그건 올바른 풀이지만, 완전히 상위호환인 다른 풀이가 있어요. 그걸 지금 알려드리겠습니다.
일단 부등식에서 모르는 문자가 있는 부분을 넘겨버립니다. 그 뒤에 기하적인 의미를 부여할겁니다.
왼쪽은 완벽하게 그릴 수 있는 이차함수고, 오른쪽은 (2,0)을 지나면서 a에 따라 기울기가 달라지는 직선이죠.
이때 “직선이 항상 이차함수보다 아래에 있어야 한다” 라고 해석해주시면 됩니다.
그럼 기울기가 점점 가파라지다가 딱 접하는 순간까지 가능하겠죠? 그때보다 기울기가 더 커지면 직선이 더 위에 있는 순간이 생깁니다.
반면 기울기가 음수라면 음의 무한대까지 계속 가능할 겁니다.
x가 2보다 큰 곳에서는 여전히 아래에 있기 때문이죠.
그럼 접하는 순간 계산해볼게요.
a는 플마 루트 6인데, 둘 중에서 우리가 원하는 순간은 -루트 6일겁니다. 그래야 빨간 직선의 기울기가 양수가 되기 때문이죠.
a의 범위는 -루트6보다 크다가 되겠네요.
2024년 9평 13번에도 이걸 적용해볼게요.
저도 이렇게 빨리 풀릴 줄 몰랐는데, 아주 빨리 풀 수 있습니다.
얘도 당연히 도함수를 관찰해야겠죠.
연두색 영역에 도함수가 그려져야 합니다. 파란색 함수처럼요.
반드시 (-1,0)을 지나야 하겠네요.
왼쪽 함수에 대입해봅니다.
b=2a-1이 나오겠네요.
도함수의 오른쪽부터 관찰해보겠습니다. 아까 했던 거 똑같이 할게요.
a범위 구했습니다.
왼쪽에서 새로 추가되는 조건은 없습니다. 이미 이 조건만으로도 왼쪽 구간 함수는
y절편이 양수고
(-1,0)을 지나므로
아까 말한 연두 구간에 그려집니다.
우리가 구해야 하는건 a+b의 최대최소 즉, 3a-1 의 최대최소값입니다. a 범위를 아니까 다 구한 셈이네요.
네 여기까지입니다.
부등식으로 인식한 뒤에 약간의 변형을 가해주어서 기하적으로 관찰하는 방법을 알려드렸습니다.
문자범위 나눠서 하는 것보다 훨씬 빠르고 실수 확률이 적은 풀이라 생각합니다.
한 마디 덧붙이자면, a로 묶인 부분이 기하적으로 깔끔하게 해석이 가능할 때 이 방식을 쓸 수 있습니다.
그럼 언제 깔끔한 해석이 불가할까요?
a의 계수가 이차도 있고.. 일차도 있고 이런 식으로 여러 개가 있다면 기하적 의미를 부여하기 힘들 겁니다.
즉 문자 계수가 하나로 한정된 상황에서는
이 방식이 근의 분리를 완전히 대체한다고 말할 수 있겠네요.
다음에 또 좋은 글로 찾아뵙겠습니다. 감사합니다.
0 XDK (+1,010)
-
1,000
-
10
-
11덮 국어 0
독서문학화작 35 30 15 써서 문학만 10틀했는데 뭐가 문제일까요.. 연계가...
-
왜냐 면 내가 학원 그만뒀거든
-
사회규범의 통제력 강화를 일탈행동의 대책으로 제시한다 이거 개념강의에서나 실모에서나...
-
친구가 호머식 2등급이라 그러는데 맞으면 맞은거고 틀리면 틀린거 아닌가 해서요.....
-
양곰탕은 16000원 꼬리곰탕은 2만원이네
-
수능 시뮬레이션 0
유튜브에 쳐서 들으면서 하는데 한숨빌런이 진짜 만나면 최악이겠다...한지문에 한번꼴로 한숨쉬네;;
-
실모풀면 맨날 독서만 6틀 7틀해서 2등급떠요.. 한 두 문제만 더 맞추고 싶은데...
-
오리 꽥꽥 10
-
국어 순서 1
공통 + 선택 포함 고전소설 제일 힘들어해서 고전소설 맨 마지막에 풀면 거의...
-
오르비 교재 0
오르비 클래스에서 교재구매할 때 결제 확인창이 원래 안뜨나요?
-
올해 독서 1
어느정도 난이도일 거 같나요 아무도 모르는 거긴 하지만 독서 약하고 문학 잘해서...
-
어느정도 푸셨어요 다들?
-
죽을까 그냥
-
상상 5-9 0
마킹 다 하니 79분 91 독서 인문 3점틀 문학 마지막 고전시가 2점틀,...
-
차엿어 .. 여자랑 단 둘이 만나는거 부담스럽대 .. 말도 안된다 ..
-
케이비에스ㅅㅅㅅ 한국바앙소옹 (띤딘띤딘딘딘 디리링~) 뚜 뚜 삐--- 빰바밤 빠밤밤밤
-
화작 0
제가 항상 실모를 보면 화작에서 시간을 줄이려고 노력을 해봐도 빠르면17분 늦으면...
-
수능시험이라는게 3
출제자가 개념들을 엮어서 구조를 만들어내면 수험생들은 그 구조를 추론해서 맞추는건데...
-
공콘 시즌2때 가서 오르비언들 많이 보곤 했는데 이젠 추억이네
-
논술날 봐요~~~~~ 제가 안전하게 통제하겠습니다!!!
-
응애 3
아아안.아.줘.
-
사회규범의 통제력 강화를 일탈행동의 대책으로 제시하는건 머튼이랑 뒤르켐 모두...
-
동생 인강패스는 내가 끊어줘야징
-
혹시 문학/비문학 고난이도 지문 하나씩 툭 던져주고 가주실 분..! 6
그냥 여러분 기준 어려웠던 지문(문학+비문학) 아무거나 1-2개씩 툭 던져 주시고...
-
15권정도 인데 개당 만원인데 그냥 일괄로 2만원에 사가실분
-
기출 얼추돌렿느데 이감하나볼까,,,,
-
국영수한과탐임 가격15000해드림
-
다 안다고 바로 문제 들어가기보다는 배경지식을 활용한 지문과 보기 읽기 해야 틀리지 않을 거 같음
-
여기서 잡히다가 왜 사동임?? 피동아닌가…
-
슈시붙어서 필요가 없다 ㅎ
-
뚜왕뚜왕 0
뚜왕뚜왕
-
11덮 확통 0
난이도 어땟나요 33분썻고 30번 틀렷는데 평가원 기출보다 좀 어려운거같던데 맞나요…
-
미적분하면 공통 3
도움되나요?? 확통이나 기하랑 다르게 논리가 비슷해서 도움될 거 같긴 한데 어떨지...
-
기분좋은 점수로 시작하는 하루 문학이 평소보다 쉬워서 너무 좋았음 그리고 한줄평...
-
삼각함수 그래프 1
제가 풀면서 쓴 풀이인데 맞나요? 이상한점 있나요?
-
문학때문에 시간 계속 개박살나서 다 꼬이네
-
나온 거 있으면 아는사람? 요즘 사설 독서론 가끔씩 틀려서 슬프네 생각해보니...
-
춘매전 뭔가 0
느낌이온다 문실정 출제자분 말도 일리가 있다 드문 능동적 주체적 여성인물..
-
내 정신머리
-
관리를 평가할 때는 개인의 능력이 아닌 도덕성만을 고려해야 한다 왜 틀린 거예요?...
-
예열지문이랑 요약본 들고갈건데 각 교시 쉬는시간마다 볼 수 있나요? 한국사랑...
-
오르비 망했네 6
딥피드 딱 5개 뜨는 거 중에 4개가 애니프사에다 나머지 하나는 제목 상태가...
-
ㅗ 화작 2점 틀리는 사람을 뭐라고 불러요?
-
허락받는건가요?? 감독관한테
-
아 인생 8
-
1. 잠깐이라도 충분히 자며 에너지 충전하기 공부 슬럼프에 빠진 학생들은 지금까지...
-
바로 75점 떠버리네;;;
-
오느레 급씩 3
히히.. 마시게따
-
나만 어려웟나 ..
-
오바임뇨?? 걍 기출 더 보는게 낫나..
개추 눌렀다....
캬
일단 읽어보고 걔추
볼 때마다 존경스러울 뿐입니다앞으로도 좋은 글 써볼게요 ㅎㅎ
ㄷㄷㄷ
갑종님이랑 생각이 거의 일치하는...
왜냐면 둘이 친구거등
저도 작년 9평 13번을 이렇게 푸는게 맞다고 생각했어서 근의 분리니 뭐니 말 많을때 잘 이해가 안되긴 했었어요
김현우 선생님이랑 완전히 똑같이 푸셨네요.. 칼럼 잘보고 갑니다!
15번 이거풀때 산술기하로 풀었는데 최솟값이라 풀린거겠죠
6평 말하시는거죠?
산술기하도 괜찮네요. 왜냐면 여러가지 조건이 딱 맞아 떨어져서 여기에 산술기하를 쓸 수 있습니다.
일단 x가 2보다 큰 부분을 봐야 하는데, 그게 x-2>0이어야 하는 산술기하 조건이랑 맞아떨어졌구요,
부등식에서 오른쪽 부분이 상수이기 때문에 최솟값만 보면 됩니다.
물론 좀 더 근본적으로는, 산술기하는 완전제곱식에서 나온 공식이기에 똑같다고 볼 수도 있지만
아무튼 아주 맘에드는 관점이네요!!
넹 6모 15번 x-2>0보다 큰상태여서 이거로 산술기하썼는데
해설강의같은거 보니까 다들 다르게풀어가지고 결국 똑같은이야기였네요
대범준 그래프 분리
첫 문제에서 a=±루트6 구하셨을 때 D/4 공식을 쓰셔는데, 미지수를 (x-2)로 해서 b'²-ac 로 바로 구하신건가요?
네 맞습니다아! 근데 그렇게 해도 되는건가요? 제가 고1수학을 날림으로 배워서..
넵, 이해를 도울 수 있는 두 가지 관점을 소개해드리겠습니다
1. 평행이동.
x축과 만나지 않는 이차함수를 좌우로 평행이동해도 여전히 x축과 만나지 않는다. 따라서 해당 이차함수를 2만큼 왼쪽으로 이동시킨다면 3x제곱 +2ax+2이고, 여기에 판별식을 쓰면 된다.
2. 치환
x-2를 t라는 새로운 문자로 잡는다.
사실 1과 본질적으로 같다.
감사합니다!! 저는 x가 변수인 상황에서 판별식을 쓰는데, 2만큼 평행이동을 해도 똑같이 성립이 되는지 궁금했었는데 이해가 되네요! 정말 감사합니다 ㅎㅎ 덕분에 수준높은 풀이법 하나 배워갑니다 . 감사합니다!!
넵 ㅎㅎ 앞으로도 좋은 글 많이 올려볼게요저도 굳이 근의 분리까지 안끌고가고 싶어서
저는 그냥 잘 모르겠으면 화끈하게 근의공식 때리고, 두 근이 모두 k보다 작아야한다면
D >=0인 경우, 그냥 더 큰 근이 k보다 작다! 라고 하게끔 가르쳤는데
기하학적인 풀이도 너무 좋은 듯 합니다 ㅎ
잘 보고 갑니다!
관찰중인 문자의 차수가 여러개가 아닌 이상 (예를 들면 식에 a도 있고 a제곱도 있는 경우), 위 기하적인 풀이가 근의 분리를 완전히 대체합니다
.
의견 공유 감사해요 ㅎㅎ
고정된 요소가 필요하다는 말씀 맞으실까요? 좋은 댓글 감사합니다 ㅎㅎ
오 이거 좋네요. 시간 단축 꿀일 듯.
+ 이번 6평 14번 부등식도, 부등식 여러개로 케이스 분류해서 끼워 맞추지 않고, 일차함수랑 이차함수 만나는 걸로 구할 수 있음!
정말감사합니다
오늘도 배워갑니다 감사합니다
많은 상황에서 상위 호환은 맞지만 계수의 꼴에 따라선 대체가 안 되는 경우도 있습니다!
(고정점 지나는 직선으로 해석이 안 되는 경우도 있음)
맞습니다저도 위에 댓글에 달아놨는데, 그 경우에는 기하적 의미를 깔끔하게 부여할 수 없습니다
본문에도 추가해야겠네요
질질 쌌다.
미분을 활용하여 직선의 회전 이동을 관찰한다, 감사히 잘 읽었습니다!
좋은 글 감사합니다
선생님 진짜 미틴넘이시네요 미친초고수다