칼럼) 극한 근사에 대해 feat. 250630 총평 및 손풀이

한때 삼각함수 도형의 극한 근사로 책도 써본 입장으로써

많은 사람들이 제가 근사를 '좋아한다'라고 생각합니다.

여기서 한 가지 사실을 정정하자면

저는 원래 근사로 푸는 사람들을 거의 경멸 했었습니다.

"어떻게 사람 인생 걸린 수능판에서 저렇게 근거 없고 사후적으로 찍으라고 말하지?"

이 부분이 가장 납득이 안 갔었거든요

그러나 고3 때 직접 수능에서 사용하기 위해 연구해본 결과

항상 성립하는, 그러니까 인생 걸린 시험에서도 충분히 사용 가능할 정도로

정합적이고 오류가 없는 풀이들을 걸러내게 됩니다. 

그리고 그걸 이용해서 삼극사기 라는 책까지 냈었죠.

오늘 칼럼에서 하려는 말은

근거 없는 근사가 난무하는 이 입시판에서

어떤 근사만이 믿을 만한지, 그리고 수학적으로 충분히 엄밀한지 수험생 여러분들이 자체적으로 판단할 수 있는 근거를 드리고자 합니다. 여기 있는 말을 벗어나는 해법들을 과감히 무시하시기를 바랍니다. 

자. 그럼 시작해볼까요?

* 들어가기에 앞서 제가 a_1 =0 을 체크하지 못해서 항이 하나씩 밀려 있습니다.

다 쓰고 찾아내서 다 고치기는 어려울 것 같습니다,,,

점근선 위치가 pi/2 + (n-1)pi 가 아니라 pi/2 + (n-2)pi 인 것만 고쳐서 읽어주시면 될 것 같습니다.

풀이에는 전혀 지장이 없어 무시해도 무방합니다. 죄송합니다!!!!

250630

이번 30번을 요약하면, 결국 위와 같습니다. 

많은 분들이 이 문제를 엄청난 계산보다는 감에 의존한 풀이를 사용했는데요

그 방법은 다음과 같습니다. 

지오지브라로 대충 7십만 정도까지만 가봐도 

y=sqrt10/x 가 거의 수평이 되기 때문에 a_n과 a_n+1이 거의 비슷하며 이들은 대략 pi 정도 차이가 난다.

그러므로 a_n 대신에는 (n-1)pi를 넣고, a_n+1-a_n에다가는 pi를 넣으면 답이다!

이렇게 푸는 것이죠. 

그럴 경우 풀이는 아래와 같습니다. 

어차피 무한대로 가면 a_n이나 a_n+1이나 거의 비슷해진다는 발상 떄문에 a_n으로 다 갈아끼워서 퉁쳐버린 것을 볼 수 있습니다.

근데 그러면 언제나 a_n 대신에 a_n+1을 갈아껴도 되는 걸까요?

그러면 애초에 문제 맨 처음에 a_n+1-a_n 에서 그냥 0을 넣으면 왜 안 되는 거죠

이에 대해 각자 갖고 계신 막연한 답이 있으리라는 걸 압니다. 

그렇다면 그 막연한 느낌을 갖고 한번 밑에 있는 문제를 봐봅시다. 

2021년 고3 3월 모의고사 30번

처음 보는 분들은 한번 풀어보시고 아래를 읽는 것을 추천드리나 안 푸셔도 크게 지장은 없습니다.

발문을 그림으로 나타내면 아래와 같습니다. 

삼차함수이므로 우선 가장 쉽게 구해야 하고 반드시 알아야 하는 점은 바로 변곡점입니다!

삼차함수의 비율관계를 쓰든 대칭성을 쓰든 변하지 않는 불변의 점은 변곡점이기 때문에 언제나 삼차함수를 풀 때 변곡점이 어디인지 정도는 확인하는 습관을 기르세요

그래서 변곡점을 구하는 가장 쉬운 방법은 세 근의 평균이 변곡점이라는 겁니다.

근과 계수의 관계에 의해 삼차함수의 변곡점은 언제나 세 근의 평균과 같거든요.

이에 의해 변곡점의 x 좌표는 

이런 상황에서 변곡점을 알았으니 대략적으로 비율관계를 사용해봅시다.

현재 n이 무한대로 가는 상황입니다. 

이때 무한대로 가는 애들이 다양할 경우

제1원칙. 차수를 확인할 것

을 따릅시다. 차수가 더 높으면 무한대에서는 소위 더욱 강력합니다.

a_n은 n보다 작다는 것에서 차수가 최소한 1차 이하라는 것을 알 수 있습니다.

반면 bn의 경우 3n^2보다 크다는 것에서 최소한 2차 이상이라는 사실을 알 수 있죠.

근과 계수의 관계에 의해 2an+bn = 3n^2 + n 입니다.

우변은 계수가 3인 2차식이고 an은 1차 이하이므로 bn= 3n^+ ~ 라는 걸 알 수 있습니다.

여기서 이제 문제가 발생합니다.

우변에 n에 대한 1차식도 있으므로 bn의 일차항이 존재하냐 안 하냐에 따라서

an의 일차항의 계수가 달라질 수 있는 것이죠.

제2원칙. 발문에서 요구하는 차수를 확인할 것 

문제에서 요구하는 것도 분모가 3차인데 bn이 2차이므로

an이 일차여야 곱이 삼차가 되어 수렴한다는 것 역시 알 수 있습니다. 

이제 an은 1차 이하에서 완벽하게 1차로 확정이 낫고 정확한 계수를 구해야 하는 상황입니다.

an은 어떤 애죠?

정의되기로 삼차함수의 극대점의 x좌표입니다.

그러면 미분을 해주어야겠죠. 

이로부터 우리는 한 근은 an 나머지 하나는 극소임을 알 수 있겠죠.

극소점의 경우 우리는 삼차함수 비율 관계나 아니면 도함수가 2차함수이므로 선대칭에 따라 구할 수 있습니다.

극소점의 x좌표는 2n^2 + 2/3 n - an 이 되겠죠.

그런데 우리는 도함수로부터 근과 계수의 관계에 의해 

곱 역시 알 수 있습니다.

극솟점은 2차항의 계수가 2인 이차식이었고, an은 1차식임을 우리가 알고 있죠.

두 식을 곱해서 계수가 1인 3차식이 되어야 하므로

우리는 이제 an의 1차항의 계수가 1/2 가 되어야 함을 비로소 알게 됩니다.

이에 의해 an bn의 곱은 3/2가 계수인 3차항이 되면서 답은 3/2 -> 5로 결정납니다.

지금 제가 한 것은 어차피 극한에서는 최고차항의 차수와 계수가 중요하기 때문에 

이것만을 추적하는 방법이었습니다.

그러기 위해서는 정확히 차수와 계수를 찾기 위해 여러 방법을 써야 하는데,

이를 위해서는 합이나 차보다는 '곱'을 찾는 것이 매우 중요합니다.

제3원칙. 차수와 계수를 찾을 때는 곱을 이용하라

이로 인해 아까 2an+bn = 3n^2 + n 라는 식은 합으로 되어 있으므로 bn의 계수는 알지언정 an의 계수는 알지 못하는 상황이 벌어졌었습니다.

그러나 곱과 매우 상관 있는 근과계수의 관계를 이용하니 쉽게 an의 차수를 알 수 있었죠.

그 이유는 

1번 합이나 차에서는 계수가 같은 항들의 경우 지워지면서 차수가 원래 알고 있던 것과 달라질 수 있고

2번 결과만을 보고 누구와 누구의 합차로 해당 식이 만들어졌는지를 알 수 없기 때문입니다.

계수가 양수인 상황에서는 합에서는 1번은 연출이 되지 않으나 2번은 여전히 발생할 것입니다.

이런 세 가지 원칙 없는 근사는 소위 말하는 비약적인 풀이가 되어 근거 없는 풀이가 됩니다.

지금 풀었던 이 문제의 경우 인터넷에 검색해보면

1초 풀이라고 이름 붙은 영상이 나옵니다.

거기서 말하는 풀이는 n이 무한대로 가므로 대략 an이 0과 n의 중점에 올 수밖에 없어서 an이 1/2 n~ 이 된다고 설명합니다. 해당 영상의 경우 가르침보다는 재미로 올린 것으로 보이긴 하나 확실한 근거 없이 대충 무한대로 가니까 이쯤 오겠지 라고 하는 것은 수험생 입장에서는 너무나도 위험한 도박입니다.

이러한 문제를 방지 하기 위해서는 제가 앞서 말씀드린 세 가지 원칙이 반드시 필요한 것이죠.

그리고 이 세 가지 원칙에 따른 근사는 

더 이상 근사나 편법이 아니라 정확한 풀이가 되게 됩니다.

최고차항만 보는 것은 근사가 아니라 수학 2 극한 시간에 배웠듯 

엄밀한 수렴값을 구하는 풀이입니다.

위아래를 최고차항으로 나눠주게 되면 나머지 차항들은 0으로 수렴하게 되면서 결국 최고차항의 계수로만 답을 구할 수 있는 것이니까요.

그러면 이제 이 세 가지 원칙을 다시 기억하고 이번 6모 문제로 가봅시다. 

우리는 tan 함수의 주기성과 루트10x의 그림에 의해 아래와 같은 식은 알 수 있게 됩니다.

이를 풀어서 설명하면

"an의 간격이 점점 더 좁혀지고, 각 항은 절대 오른쪽 점근선을 넘을 수 없다."

가 되는 것이죠. 

제1원칙. 차수를 확인할 것

심지어 부등식에 의해 an의 일차항의 계수는 pi 로 정확하게 정해지게 됩니다. 

그러나 한 가지 확인되지 않은 사실은 an+1과 an의 차이가 점점 줄어드는 것은 알겠으나 정확한 값은 알지 못한다는 것이죠. 

그러니 우리는 이를 식으로 나타내려면 아래처럼 나타내야 합니다. 

이때 위 식에서 bn은 점점 감소하게 되고 이는 0보다는 항상 큽니다. (tan의 주기가 pi 이므로)

즉, bn의 점근선은 0입니다. 

자 그럼 이제 발문에서 요구하는 식을 찾아봅시다.

제2원칙. 발문에서 요구하는 차수를 확인할 것

발문을 우리가 알아낸 사실들을 반영해서 고치면

분자에 해당하는 an^3은 삼차식이겠죠.

그러므로 tan bn은 -3차여야 할 겁니다. 엄청나게 작은 친구였던 거죠.

차수가 확인됐으므로 이제 계수를 구하러 가야 합니다.

어차피 pi는 주기이니 지우고, tan의 덧셈정리와 발문에서 맨 처음 주었던 루트x/10을 이용해봅시다. 

제3원칙. 차수와 계수를 찾을 때는 곱을 이용하라

이제 곱으로 만들어주기 위해 우리는 배웠던 유리화를 반드시 해야 합니다.

유리화를 해주면 

이제 우리가 알고 있는 것을 이용합시다. 

bn은 감소 수열이고 점근선은 0이므로 무한대로 갈 때 정확히 0으로 수렴합니다.

an의 최고차항의 계수는 pi 이고 최고차항은 일차항입니다.

따라서 분모의 최대 차수는  3/2차가 되며 최고차항의 계수는 2pi sqrt pi 가 됩니다. 

끝났네요.

따라서 

언제나 이 세 원칙을 따라서 극한을 계산하시길 당부드립니다.

제3원칙에서 말하는 곱 의 형태는 생각보다 몇 가지 없습니다.

근과 계수의 관계 & 유리화 & 넓이 공식에 의한 곱 & 비율 계산 (삼각비 사용하기)

이들이 전부이거든요. 

관련 기출 하나만 더 보고 이제 마무리 해봅시다. 

올해 치루어진 2024년 3월 모의고사 29번입니다. 

우선 ln이 접선이라고 하니 접점부터 구해볼까요.

원점에서 그린 접선의 접점을 구하는 가장 쉬운 방법은 (평균변화율 f(x)/x ) = ( 순간변화율 f'(x)) 를 이용하는 겁니다. 계산을 해주면 접점은 (n/2, 3/2)가 나오게 됩니다. 

이것도 우선 발문에서 알려준 걸 그림으로 나타냅시다...! 

세타를 놔둔 것은 우리가 제3원칙의 곱을 이용하기 위한 삼각비를 쓰려고입니다.

이제 순서에 따라 문제를 풀어봅시다.

r의 차수부터 확인해봅시다. 

제2원칙. 발문에서 요구하는 차수를 확인할 것

문제에서 알려주었으니 그대로 쓰면 되겠죠.

수렴하려면 결국 r-3/4 는 n에 대해 -2차여야 합니다. 

즉, r 자체는 수렴값이 3/4임을 알 수 있습니다. 

그러면 이제 r을 곱으로 나타내러 가봅시다.

A의 y좌표는 함수에 넣어보면 3/2가 나옵니다. 

그리고 피타고라스 법칙에 의해 이 삼각비의 빗변은 

가 될 테니 sin과 cos도 알게 되었습니다!

한편, 발문에 의하면 r을 구하라는 게 아니라 r-3/4를 구하라는 걸 알 수 있습니다.

이기 때문입니다.

그런데 3/4라는 숫자는 어디서 보지 않았나요. AB 길이의 절반이죠.

AB = AD + DB 이므로, AB = r ( 1+cos@) 입니다.

따라서, 우리가 구하는 값인 r-3/4는 

가 됩니다. r의 수렴값은 3/4로 가고, theta도 0으로 가기 때문에 costheta의 수렴값이 1임을 이미 우리는 알고 있죠? 이를 반영해서 정리하면, 

이제 마저 발문에 있는 수들도 곱해줄까요?

원의 중심을 구하려고 한 사람들이 많았던 문제입니다.

하지만, 곱의 풀이 즉 제3원칙에 익숙해진 사람들은 이를 기하적 닮음 (삼각비)를 이용해야 함을 바로 알 수 있게 됩니다. 그러면 그냥 도형 풀이로써 계산을 해주면 되는 것이죠.

심지어 r을 구하고 거기서 또 3/4를 빼줄 필요가 없습니다. 

차수를 보면 -2차인 것은 r이 아니라 r-3/4 이니 이 자체를 구해야겠다는 생각을 해야 하는 것이죠.

그 이후는 곱으로 계산한다는 제3원칙을 따르면 문제가 쉬이 풀리게 됩니다.

눈속임용인 드라마틱한 근사에 현혹되지 않고

수학적으로 실력을 기를 수 있는 근사를 보실 수 있기를 바랍니다.

이번 모의고사의 경우 25번, 26번, 30번 모두 근사로 풀리기에

또 이번 6모 결과 해석을 갖고

근사에 너무 심취하거나 이를 장사용으로 사용할 분들이 계실까 

노파심에 미리 글을 쓰게 되었습니다.

읽어주셔서 감사합니다.

- 250630 총평

냉정히 말해 준킬러의 빡빡함이 수능에 비해선 쉬웠다.

이제 수능이 고일만큼 고여 기출을 벗어나는 것처럼 보이는 문제도 없었고

모두 기출 직접 연계라 볼 정도의 문항들이었다.

따라서 이미 많이 쌓인 기출들에 대한 대비도 없이 사설만을 푼 학생들은 이번 성적이 나오지 않았다면 다시 기출 문항들을 점검해보는 것이 중요할 테다.

15번에 나온 수2문제의 경우에도 이미 같은 테마로 나형 30번에 나온 적이 있다. 

180930 (나)형

함수의 모양이 거의 비슷하고, 이 문제의 경우 적분값이 최소가 되는 함수의 모양까지 상상해야 하지만,

이번 15번의 경우 부등식으로 주어져 있어 k 값이 그저 나오게 된다.

즉, 예전 킬러보다 낮은 난도로 15번이 구성되기에 최상위권과 상위권, 또 상위권과 중위권 사이에 느끼는 힘듦의 격차가 매우 벌어졌을 것으로 보인다. 

몇 년 째 반복되는 경향이다.

양치기로 반복해서 풀어서 얻게 되는 감만으로는 제대로 된 이해를 통해 간결하게 풀이하는 사람을 절대 이길 수 없다. 그리 많지도 적지도 않은 시간이 남은 현재, 이번 6평이 반성의 지점이 되어 이해를 동반한 수학의 길로 입문하는 계기가 될 수 있기를 바란다. 

선택과목의 경우 기하가 난도가 있게 나왔고 미적분의 경우 평이하게 나왔다.

바뀐 기조는 전혀 없다.

원래 대로 정진하기를 바란다.

(끝)

이하는 정돈한 풀이가 아닌 현장 풀이입니다.

조금 더러운 점 양해 바랍니다. 

쫄리라고 + 간결하게 풀 수 있다는 걸 강조하기 위해 일부러 볼펜으로 풀었습니당

손풀이를 통해 얻어갈 건?

V 손해설처럼 참신한 풀이가 어떤 게 있나
V 이 정도 메모만으로도 문제를 풀 수 있어야 하군

V 조건 해석에 따른 상대 발상의 순서를 확인할 수 있음