[이동훈t] 5월 수학 심층분석
안녕하세요.
이동훈 기출문제집의
이동훈 입니다.
오늘은 지난 5월 모의고사
수학 전 문항을
꼼꼼하게 살펴보겠습니다.
시작하기 전에 ..
제가 최근에 올린
2025 이동훈 기출에 대한 글
관심 있으신 분들
한 번
읽어보시고요.
[이동훈t] 실전개념의 구체적 활용의 예 (2025 이동훈 기출)
2025 이동훈 기출 사용법 (+실물사진)
총평은 ...
간만에 상당히 잘 만들어진 교육청 모의고사 이다.
교육청 출제자 분들이 아주 열일을 했다 !
입니다.
출제 기술에 대한 연구가
상당히 진전된 분들이
만들었다는 생각이 들며,
기술적인 연마의 수준이
일정 단계를 넘어섰다는
생각이 듭니다.
예를 들어 기하 28 번 같은 문제는
바로 올해 수능에 출제되어도 될 정도로
완성도가 상당히 뛰어 납니다.
6월/9월 모평에
그대로 (또는 조금 다듬어서)
출제해도 괜찮을 문제들이
다수이고요.
다만 작년 수능 공통 22 번처럼
(1) 두 개 이상의 소재의 과감한 결합
(2) 교육 과정에 의거한 풀이로 접근하면
자연스럽고 빠르게 풀리도록 설계
(3) (시험 이상의)
수학적인 의미까지 포함.
...
이 수준에 이른 ...
예술적 성취를 이룬
문제는 없었습니다.
이제 ...
본론 들어가실까요 ?
1. (a+b) + (c-b) = a+c
이 등식이 바로 보여야 합니다.
2. 함수의 극한에 대한 교과서 예제. (유리화)
3. 등차수열의 일반항 유도하기. (a1, d)
4. 미분계수의 정의
5. 삼각함수의 성질
+ 각 사분면에서 삼각함수의 부호
+ 직각삼각형(3:4:5)
6. 삼차함수의 극대, 극소에 대한 교과서 예제
7. 완전제곱식에 대한 문제.
f ' (x) = (x-a)(x-b) >= 0
(필충)
f ' (x) = (x-a)^2 (즉, a=b)
왜냐하면
a != b 이면
함수 f(x)는 극대, 극소를
모두 갖기 때문이지요.
문제에서 주어진 우변을 전개해서
판별식을 적용할 수도 있겠지만
그럴 경우
출제의도에서 벗어나는
식 변형이라고 보여집니다.
좋은 문제이고,
복잡도를 높여서 변형 가능 할 것입니다.
8. 삼각함수의 주기와 그래프에 대한 교과서 연습 문제.
이런 유형이 어려우신 분들은 ...
그림 그릴 때, 직사각형 같이 그리면 좋습니다.
9. 수열의 합과 일반항의 관계에 대한 전형적인 문제.
an, Sn 이 함께 주어진 등식이 보이면 ...
a1=S1, Sn - Sn-1 = an (n>=2)
을 이용해서 귀납적 정의를 유도한다.
라는 전형적인 풀이를 적용한다.
반드시 a1=S1 으로
첫째항의 값을 따로 구해야
실수가 없을 것입니다.
10. 속도-거리에 대한 전형적인 문제.
다만 이 문제의 경우
|v1|=v1, |v2| != v2
와 같이 전자와 후자가 달라서 ...
자칫 착각을 불러일으키는
문제 구조를 가지고 있습니다.
(물론 m의 값이 2 개 이상 이므로
결국 오류 수정을 하게 됩니다.)
이런 식의 착각은 ...
수능에서도 자주 사용하는 기법이고 ...
특히 작년 수능의 경우
이런 식의 트릭이 시험지 전체에
도배 된 바 있습니다.
(그래서 상당히 이런 지점을 간파하는게
더 중요해진 시험이긴 합니다.
이게 무슨 말인지 잘하는 분들은
잘 아실것이고.)
출제자 입장에서는
뻔한 문제로 털어내야 하는 것이니 ...
이해가 되는 지점이긴 합니다.
점 Q 가 움직인 거리는
산술적으로만 접근하는 것보다는 ...
사다리꼴 또는 삼각형 2개를 그려서
도형의 넓이를 구하는 것이 낫습니다.
11. an-bn 이
두 등식과 한 부등식에서
반복되고 있으므로
an-bn = cn 과 같이 치환해야 합니다.
이런 식의 치환은
수능에서 매해 출제되고 있습으므로
올해도 나온다. 라고 생각하시면 되고 ...
치환하고 나면
등차수열 {cn}의 공차와 한 항의 값을 구하고,
등차수열 합으로 마무리 하면 됩니다.
12. 앞선 문제와 마찬가지로
두 함수의 차로 새로운 함수를
결정하는 문제입니다.
함수와 관련된 단원에서
차함수는 매우 즐겨 출제되는 소재이므로
반드시 익혀두어야겠습니다.
직선 y=1/2 * x 위의 두 점 A, B 에 대하여
AB = 루트5 가 주어졌으므로
세 변의 길이가 각각 1, 2, 루트5 인
직각삼각형이 바로 그려져야 합니다.
이 직각삼각형은
두 점 사이의 거리 공식, 직선의 기울기, ...
에서 그려지는 것으로
매우 중요한 기하적 해석 입니다.
(최근들어 자주 출제되고 있지요.)
이후에는 수평화를 적용하여
y = f(x) - 1/2 * x = x^2 * (x-alpha) * (x-beta) -(가)
의 그래프를 그리고
(이때, beta - alpha = 2 이지요.
이걸 2 가 아니라 루트5 라고
착각하면 곤란합니다.
이런 착각을 하지 않기 위해서는
두 점 A, B 에서 x 축에 수선의 발을
정확하게 내려주면 됩니다.)
정적분이 0 임을 이용하여
alpha 의 값을 결정하면 됩니다.
(가) 에서 주어진 함수의 방정식에
제곱이 포함된 인수가 있으므로
정적분 계산량이 많지 않음을 알고
가벼운 마음으로 계산 할 수 있어야 합니다.
넓이 공식을 적용해도 좋겠으나 ...
자주 쓰이지 않는 공식은 까먹거나,
최악의 경우 잘못 사용할 수 있으므로
얌전하게 계산하는 편이 낫습니다.
미적분 관련해서
신기한 공식들을 내가 모르는 바는 아닌데.
정리해둔 파일도 있고.
그런데 이걸 수능 시험장에서 써먹을 확률은
그리 높지 않습니다.
위에서 말한 것처럼
자주 쓰지 않는 공식들은
결정적인 순간에
잘못 사용하는 경우가 참 많고요.
13. 작년 9월 모평 14번도 그렇고 ...
최근에 이런 유형의
(지수(로그)함수 2개 주고,
함숫값의 존재 유무, 함숫값의 개수, ...)
문제들이 자주 출제되고 있는데요.
교육과정 상에서 보면 ...
고1 함수 단원과 연관되기도 하고 ...
케이스 구분 하는 과정에서
문제 푸는 사람의 마음을
힘들게 할 수 있으므로 ...
(즉, 난이도 높이기)
여러 차원에서
계속 출제 될 수 밖에 없는
유형이라는 생각이 듭니다.
그림을 다 그리고 나면 ...
곡선 y=f(x) (x<=a) 의 y 절편으로
케이스 구분을 해야 함을 알 수 있고 ...
경계값 즉, b, 3b 을
우선적으로 보면 ...
(이게 난 좀 자연스럽던데 ...)
곡선 y=f(x) (x<=a) 의 y 절편과
상수 k 의 값이
자연스럽게 결정됩니다.
이처럼 시험시간에는
가능한 케이스 중에서
답일 가능성이 높은 것부터
따지는 것이 중요합니다.
다만 이런 점들을 노리고
일부러 가장 답이 아닌 것 같은 경우가
답이 되도록 출제하기도 합니다.
시험지 전체 문항의 구성과
해당 문항의 번호, ...
등을 보면 확률 계산을 할 수 있긴 한데 ...
이 수준에 오르기 위해서는
상당한 연습을 해야 합니다.
결국엔 시험이란 심리 싸움 이니까요.
14. 절댓값이 포함된 등식
|A| + |B| = 0
(필충)
A = B = 0
이게 바로 떠오르지 않았다면
좀 곤란하다. 이겠고요.
곡선 y=f(x) 위의 점 (k, f(k)) 에서의
접선의 y절편이 0 이 되도록 하는
k 의 값이 2 개 존재해야 하는데.
이를 만족시키는 그래프는
평가원 기출에서 너무 자주
출제되고 있으므로 ...
바로 머릿속에서 그려져야 합니다.
이게 잘 안된다 ...
그러면 아직까지는
기출 짬바가 충분하지 않은 것입니다.
15. 닫힌 집합과 수형도 거꾸로 그리기가 결합된
(이제는) 전형적인 문제입니다.
문제의 구조상 an 이
당연히 자연수 일 수 밖에 없긴 한데 ...
이런 부분에서 완성도가 다소 처지는 느낌입니다.
수형도 그리기는 어렵지 않습니다.
다만 빼 먹는 경우가 없어야 하는데.
수형도를 한 번 그리고 나서,
다시 한 번 정도 더 검토해야 한다는
생각을 해야 합니다.
16. 진수 조건 조심해야 하고요.
17. 곱 함수의 도함수
18. [-x, x] 에서 정적분 = 2x^3
까지 유도하고 나면 ...
(즉, f(x)의 방정식을 대입하기 전에
문제에서 주어진 등식을 정리해야 한다는 것이지요.)
(1) x 에 특정 값을 대입하는 것이 의미없고,
(2) 수2 범위에서는 양변을 미분할 수 없으므로
좌변을 적분 할 수 밖에 없다는 생각이 들어야 합니다.
그 이후는 미정계수 결정하기.
19. 이 문제의 경우
주어진 범위가 넓지 않으므로
x = -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
에 대하여
네제곱근, 세제곱근의 개수를
표로 그리는 편이 낫습니다.
그래야 두 집합 A, B의 원소를
실수 없이 결정할 수 있습니다.
20. 미분계수를 포함한 함수의 극한 값 구하기와
다항함수의 차수 결정하기가 결합된 문제.
문제에서 주어진 항등식을 보고 ...
(1) 특정 값 대입 & 미분
(2) 차수 결정
이 두 가지의 생각이 들지 않았다면
전형적인 풀이가
아직까지는 익숙하지 않은 것입니다.
21. 이런 문제는
어떤 보조선을 그릴 것인가 ?
가 중요한데요.
붉은 선: 선분 OC (원의 정의)
푸른 선 : 선분 AC 의 수직이등분선 OH (이등변삼각형 COA)
주황 각 : 서로 평행한 두 직선 OH, EC 에서 동위각 표시
이 정도는 그냥 보일 정도로
기본적인 보조선 긋기 연습이 되어야 하겠고요.
이제 ...
왜 CED 의 외접원의 반지름의 길이를
주었는가를 알 수 있겠고 ...
사인법칙을 적용하면
선분 CD 의 길이가 나오죠.
삼각형 CAD 에서
두 선분 CA, CD 의 길이를 알고 있으므로
선분 DA 의 길이를 x 로 두고
코사인법칙을 적용한다는 생각이 들어야 합니다.
이때,
각 C의 사인 또는 코사인 값을 알아야 하는데
마침 삼각형 CAD 는 주어진 (사분)원에 내접하므로
사인법칙을 적용하면
C 의 사인값을 알 수 있습니다.
이제 sin^2 C + cos^2 C = 1
로 x 의 값을 구하면 됩니다.
계산이 좀 있죠. 이 방향으로 풀면 ...
반면 교육청 해설지를 보면
사분원을 포함하는 반원을 그려서
계산 과정을 좀 더 단축하였는데 ...
반원을 그릴 생각이 들지 않는다면
제가 위에 설명한 풀이 정도가
가능하지 않을까 생각합니다.
물론 다른 풀이가 있을 것입니다.
기하. 문제이니까요.
22. 조건 (가)에서 주어진
절댓값의 필요충분조건
|A|=B (필충) B>=0, B=A(>=0) 또는 -A(<0)
위의 필충 조건은 워낙 많이 출제되어서
이제는 기계적으로 떠올라야 합니다.
(가) 조건을 풀어 쓰면 다음과 같습니다.
f(x) >= 0 에서
f(x) 는 제1, 2사분면에서만 그려지고
(x축에 접할 수 있고)
&
g ' (x+) >= 0 에서
함수 g(x) 는 연속인 구간에서는 감소할 수 없다.
&
f(x) = g(x) (g(x)>=0),
f(x) = -g(x) (g(x)<0)
(즉, 제3, 4분면에 그려진 곡선 y=g(x)를 접어서 올리면
곡선 y=f(x)가 완성된다.)
&
(g(x)의 x=x에서의 우미분계수) = g ' (x+) 라고 하면
g ' (x+) = f ' (x) (f ' (x)>=0)
g ' (x+) = -f ' (x) (f ' (x)<0)
(즉, 함수 g(x) 는
함수 f(x) 의 증가 구간은 그대로 두고,
감소 구간은 접어서 내린 것이다.)
여기까지 파악하고 ...
두 함수 f(x), g(x) 의 그래프를 그리면
함수 g(x) 의 불연속 점의 개수가
2 또는 3 임을 알 수 있습니다.
만약 함수 g(x) 의 불연속 점의 개수가
3이면 함수 g(x)h(x) 가 연속일 수 없으므로
귀류법에 의하여
함수 g(x) 의 불연속 점의 개수는 2 입니다.
(이 판단은
함수 h(x)에서 주어진 두 개의 직선을
보면서 하는 것입니다.)
여기까지 x축의 위치가 결정됩니다.(접하죠)
이제 y축의 위치를 결정해야 하는데요.
g(x)h(x)
= (연속)*(연속)
= (불연속)*(연속) - (가)
= (연속)*(불연속) - (나)
= (불연속)*(불연속) - (다)
위의 네 가지가 모두
나올 수 있음을 예상해야 합니다.
(가), (나) 의 경우에는
연속 함수의 함숫값이 0,
(다)의 경우에는
(두 함수 g(x), h(x)의 그래프 특성을 보고)
절댓값이 같고, 부호가 다른 함숫값
(예를 들어 2*(-2)=(-2)*2)
이 두 가지의
서로 다른 경우가 그려질 것임을
미리 예상하고 접근해야 합니다.
이와 같은 접근은
이미 평가원 기출에서
지겹게 출제되었으므로
머릿속에 탑재되어야 하겠지요.
그래프의 개형을 결정하고 나면
그 이후는 단순한 계산 입니다.
(고차 방정식이 포함되어 있긴 하지만
인수분해가 어렵지 않습니다.)
전체적으로
평가 요소가 정확하고,
군더더기 없으며,
난이도 또한 적절합니다만.
뻔하게 보이는 측면이 없지 않습니다.
뭐 ...
역시 시험 문제이기 때문에
기출 짬바가 중요하다.
이 점을 강조하고 싶습니다.
무슨 얘기냐면 ...
문제를 읽고 나서 ...
풀이의 전반적인 흐름이 일단 머릿속에 그려져야 하고 ...
&
풀이의 각 단계에서
기출이
(또는 교육과정의 목표가/흐름이)
어떻게 적용되는가 ?
에 대한 생각이 있어야 한다는 것입니다.
이게 없으면 고득점은 힘들지요.
23. 확률의 덧셈정리 교과서 연습문제
24. 이항정리 교과서 예제
25. 부등식과 중복조합 교과서 예제
26.
(가): f(1), f(2) 가 갖는 값에 1 이 포함되는 경우, 아닌 경우
(나): 치역에 1 이 포함되는 경우와 아닌 경우
(계산 과정에서 이 사고가 필요하죠.)
중복 순열로 함수의 개수를 결정할 때,
포함과 배제의 이론을 적용해야 하는
전형적인 문제입니다.
27. 우선 108 을 소인수분해 하셔야 하고 ...
(나): 모두 같은 경우, 세 개가 같은 경우,
두 개가 (두 개, 두 개 끼리) 같은 경우
의 세 경우로 구분하여
집합 {a, b, c, d}를 결정하고
같은 것이 있는 순열의 수로
순서쌍 (a, b, c, d)를 결정한다.
라는 생각이
문제 읽고 나서 5초 안에 들어야 합니다.
그 정도로 자주 반복되는
전형적인 상황이니까요.
28. 같은 것이 있는 순열 문제 중에서 ...
일렬 -> 2개 이상의 열
로 쪼개면
문제의 난이도가 높아지는 경우가 있는데요.
이 문제가 바로 그러합니다.
경우의 수 문제에서 분할을 하면
복잡도가 높아진다. 라는 점을 이용한
난문은 꾸준하게 출제되고 있고.
이는 수학적으로도 중요한 개념입니다.
고급스러운 출제 방식 입니다.
29. 교육청 해설지에서는 여집합으로 풀었던데.
가능한 경우가 세 가지 이므로
그냥 풀어도 (경우가) 계산이 많지 않습니다.
중복조합에서 방정식의 해의 개수를 구할 때,
각 문자가 짝수, 홀수인 문제는 전형적이지요.
이 문제도 크게 벗어나지 않습니다.
30. 수의 합에 대한 문제는
일단 몇 개의 수를 택해서
합해보는 것에서 출발합니다.
이 문제 역시 마찬가지 인데요.
(경우의 수 문제라는 것이 ...
원래 몇 개 써보면 풀이가 보인다. 입니다.)
7 + 6 = 13 > 12
이므로 7 은 절대 가운데 올 수 없습니다.
이런 식으로 가운데 오는 숫자를
6, 5, 4, 3, 2, 1
로 대입해보면,
가능한 숫자들이 추려질 것이고.
나머지는 문제의 조건에 맞게
원 위에 배열하면 됩니다.
경우의 수 문제의 경우 ...
풀이가 잘 보이지 않을 수록
몇 개의 경우를 써보길 바랍니다.
23. 삼각함수의 이계도함수
24. 등차수열의 일반항은
텔레스코핑 계산이 끝난 이후에
대입하는 센스 정도는 있어야 하고요.
답을 구하고 나서
일반항이 0 에 수렴하는 것까지
따진다면 꼼꼼한 당신 !
25. 두 점 사이의 거리 공식과 피타고라스의 정리가
결합된 문제입니다.
공통 문제에서도
이 기하적 상황이 중요하게 다루어졌지요.
26. 등비수열이 즉, 공비가 1 개가 아니라 2 개 입니다.
a^n, b^n 이 주어지면
이게 뚜렷하게 보이는데.
이 문제처럼
a, b가 하나의 문자에 대한 함수로 표현되면
간혹 잘 보이지 않을 수도 있습니다.
각 범위에 따라서
함수 f(x) 의 방정식이 다르므로
무연근이 발생할 수 있음을
예상할 수 있어야 합니다.
출제자들은 무연근을 사랑합니다~ ♥
27. 역함수의 미분법과
매개변수의 미분법이
물리적으로 결합된 문제입니다.
풀고 나면 별거 없습니다.
28. 풀이 후반부의
삼각함수의 덧셈 정리를 이용한 과정은
사실 잘 보이기 때문에 어렵지 않고요 ...
(나)에서 주어진 방정식을 정리하면
f ' (x)g(x) + f(x)g ' (x) = 2f(x) -(가)
이고, (가)에서 x=k 를 주었으므로
위의 등식에 대입하면
x=k 가 한 해임을 알 수 있습니다.
그런데 문제에서
모든 해의 합이라고 하였으므로
또 다른 해가 있는 것이고 ...
(가)에 f(x), g(x), f ' (x), g ' (x)
의 방정식을 대입하면
식 * 식 = 0
의 꼴이 유도될 것에 대한
확신을 가질 수 있어야 합니다.
왜냐하면 그렇게 설계된 문제이니까요.
나머지는 맨 위에서 말한 것처럼
식의 모양을 맞추는
단순 계산 입니다.
일대일대응에 대한 이해,
방정식 해법에 대한 이해,
식의 모양을 보는 센스,
등 ...
생각할 것이 많은 문제입니다.
29.
우선 각 theta 하나 만으로는
선분 AP, AQ 의 길이를 나타낼 수 없으므로
alpha 라는 각을 하나 더 도입해야 함을
알아야 합니다.
이게 풀이의 시작이겠고요.
알파를 어떤 각으로 둘지는
경험과 취향의 차이겠으나
두 삼각형 ADP, ADQ 가 만나는 점 D 의
각으로 두는 것이
자연스럽지 않은가 합니다.
(당연히 다른 꼭짓점을 찾아도 좋습니다.)
두 선분 AP, AQ의 길이를 결정할 때,
(1) 사인법칙+코사인법칙
(이때, sin^2theta = sin^2alpha*(5-4sinalpha) 가 유도 됨)
(2) 코사인법칙을 2 번 적용
(이때, f(theta) 가 alpha 가 없는 theta 만의 함수로 유도 됨.
& f^2 + g^2 = 10)
이렇게 두 가지의 경우가
일반적일 텐데요.
사실 (2)는 중점정리를
사용하는 것과 마찬가지이지요.
(1)+(2) 로 접근해도 좋을 것이고요.
이 문제에서 주어진 기하적 상황은
(즉, 한 각을 공유하는 두 개의 삼각형
PAD, QAD (각 D를 공유))
이미 수 차례 출제된 바가 있습니다.
30. 작년 6월 30 번의 영향이 느껴지는 문제인데요.
상황 자체는 상당히 단순화되어서
풀이 설계가 눈으로 가능한 수준입니다.
|an| 이 감소함수이므로
|ap| >= alpha
가 너무 잘 보여서 ...
나머지는 단순한 계산입니다.
23. 쌍곡선의 방정식과 점근선
24. 내적의 성질을 적용한 계산
25. 기하적인 상황이 중요하다기 보다는
계산을 열심히.
26. 쌍곡선의 정의와 일차 방정식의 계산
이에 대한 문제는 워낙 많아서 ...
방정식 세우고 나서
중복되는 문자는 치환한다.
라는 생각이 들어야 합니다.
27. 결국에는 서로 평행한 세 직선을 그리고
(이 중 한 개는 접선)
포물선과 직선의 방정식을 연립하고,
포물선의 정의를 적용하면 됩니다.
이런 식의 기하적 설정이
과연 교육과정에서 의미가 있는 것인가 ?
라는 의문은 듭니다.
28. 이 문제는
수능에 바로 출제해도 좋을 만큼,
상당히 완성도가 높다는 생각이 들고요.
교육청에서는 세 번째 직선을 l1, l2 외부에 그렸던데...
아마도 문제 만드신 분은
|벡터AB - 1/4*벡터CD| >= 12/4 = 3
으로 변형하는 것을 원한 것 같고 ...
그렇다면 두 직선 l1, l2 안에
세 번째 직선을 그리는 것이 자연스럽습니다.
벡터의 차의 정의, 점과 직선의 최소 거리,
한 각을 포함하는 두 직각삼각형
이 자연스럽게 결합된
매우 뛰어난 문제라고 생각합니다.
29. 포물선 2개가 결합된 문제들은
두 개의 준선을 각각 긋고,
포물선 위의 모든 점을
초점과 연결하고,
각 점에서 준선에 수선의 발을 내리고,
각 선분의 길이가 같음을 표시하면 ...
알아서 문제가 풀립니다.
이 문제 역시 이에 해당하고 ...
다만 점 P 의 y 좌표를
구하는게 잘 안 보일 수도 있는데.
선분의 길이를 모두 쓰다 보면
점 P의 x좌표가 보입니다.
30. 한 초점을 공유하는 타원에 대한 문제인데요.
이 문제도 타원 위의 각 점을 초점과 모두 연결하고,
선분의 길이를 문자를 이용하여 표현하고,
(이때, 길이가 같은 선분들을 표시하고)
타원의 정의에 대한 등식을 쓰고,
이 등식들을 연립하면 ...
알아서 문제가 풀립니다.
다만 문자의 개수가 많아지는 것에
주의해야 하는데요.
이는 문제에서 주어진
기하적인 상황에서
같은 길이를 갖는 선분을 모두 찾아내면
저절로 해결됩니다.
29번과 마찬가지로
기계적인 풀이를 적용하면 풀리는
준킬러 이하 수준의 문제입니다.
6월에도 좋은 성과 얻으시길 바랍니다 ~!
ㅎㅍ~
2025 이동훈 기출 사용법 (+실물사진)
2025 이동훈 기출 실전 개념 목차
(참고로 2025 이동훈 기출은 수분감 + 뉴런 포지션 입니다.)
[이동훈t] 학습법, 수학 칼럼 링크 모음 ('23~'24)
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