-수II, [미소변화율을 논함 3] • 적용 편

*좋아요와 팔로우는 필자에게 큰 동기부여가 됩니다 :D

바로 문제부터 보시겠습니다, 다음 두 문항을 보고 떠오르는 풀이의 방향성을 정해봅시다! 

*다 해결하셔도 좋고, 풀이 방향성만 마음속으로 정하셔도 충분합니다!

1번 문제

-東京工業大学(도쿄공업대학) 본고사 중 발췌

14. a>0, t>0에 대해 정적분 S(a,t)를 생각합니다.

(1) a를 고정했을 때, t에대한 함수 S(a,t)의 최솟값 m(a)를 구하시오.  [4점]

(2) 다음 극한을 계산하시오. [2점]

2번 문제

-18.03.30 수학 가형

30. g(x)의 극댓값과 극솟값의 차이를 구하시오. [4점]

다 정하셨나요?

제가 두 문제를 처음에 보고 든 생각을 그대로 적자면

"함수가 간단하네요? 피적분함수는 그릴 수 있다면 그려보는 편이 좋겠어요. -> 

1번 문제는 조건에 따라 a를 상수 취급하고 t가 움직임에 따라 관찰해보고, 

2번 문제는 x와 y=f(x)를 움직이며 관찰하면 되겠군요!

두 문제의 공식 해설은 다음과 같습니다. 

(ハイレベル 数学iii•C 중 발췌)

역시 계산은 조금 많지만, 흠잡을 곳 없는 자명한 풀이입니다.

그치만 저희에게는 이전에 학습한 미소변화율 개념이 있고, 이를 이용한다면 단축할 수 있겠다는 생각이 드네요.

*못 보신 분들을 위한 이전 화 링크입니다.

-수II, [미소변화율을 논함] : https://orbi.kr/00066494675

-수II, [미소변화율을 논함 2] : https://orbi.kr/00066523574

두 문제 모두 절댓값이 끼어 있는 정적분으로 정의된 함수이기에, 구간을 나누어 넓이함수를 구하고 미분하는게 출제의도일 테지만, 

적분 값을 넓이로 시각화하여 관찰하면 넓이함수의 증감을 바로 알 수 있어요.

2번 문제가  1번 문제의 업그레이드 버젼이기에, 2번문제를 분석하고 1번문제의 해설은 아래 Solution에 추가했어요

|f(t)-f(x)|를 구간 [0,x] 에서 적분한 함수가 g(x)이니

조금씩 x를 키워가며 넓이함수를 관찰하겠습니다.

이 행동의 핵심은 다음과 같습니다. 

[0<x<1]일 때 x가 커짐에 따라 y=f(x) 기준선은 위로 올라가며, 넓이의 왼쪽 부분 A는 빨간 형광펜만큼 계속 증가함을 알 수 있습니다. 

즉 g(x)는 [0<x<1]에서 증가합니다.

X=1을 넘어서는 순간 기준선 y=f(x)의 운동방향이 아래로 바뀌고,  x가 진짜 엄청 미세하게 커짐에 따라 A부분의 넓이는 파란 형광펜만큼 줄고,  B 부분의 넓이는 빨간 형관펜만큼 늘어납니다. * 파란 형광펜 부분을 dA,  빨간 형광펜 부분을 dB라 하겠습니다. 

기준선이 아래로 이동한다고 할 때, 사진에서 더 움직여도 감소하는 넓이 dA가 증가하는 넓이 dB보다 크기에 총 넓이함수는 (1<x<1+ε) 에서 감소합니다. *(ε는 적당히 작은 양수)

즉 g(x)는  (1<x<1+ε) 에서 감소하며, X=1에서 넓이함수의 증감이 바뀌므로 x=1에서 극대입니다.

이후 언제가 넓이함수의 증감이 다시 바뀌는 지점일까요?

dA>dB일땐 쭉 감소하다가 dA = dB를 거쳐 dA<dB이면 증가하겠군요. 

즉 넓이함수의 극소는 dA = dB 일 때겠군요. +(사족)이로 대강의 g(x)의 개형도 그려낼 수 있습니다

(TMI) 실제로 그린 g(x)의 개형 (A의 자취)

dA와 dB는 x좌표 차이가 가로인 미세한 직사각형인데, 세로는 함께 같은 속도로 움직이니 같다고 하면 x좌표차이가 같은 부분이겠군요.

X절편 차가 동일함 + 함수가 x=1 선대칭임을 이용하면 극소가 x=4/3에서 생김을 알 수 있고 적분을 계산하면 답을 얻을 수 있습니다. 

Solution) 02번 문제

Solution) 01번 문제

(저는 1번 문제의 함수 표현 S(a,t)가 마음에 들더군요..! 한 변수 고정하는 부분을 언급하지 않았어도 두개 이상의 변수 *특히 기하(평면벡터)등에서 스스로 한 변수를 고정하고 다른 하나를 움직여 보면 좋아요! )

긴 글 읽어주셔서 정말 감사합니다! :D

정성이 들어간 글인 만큼 여러 번 연습하면 꼭 본인의 것으로 만들 수 있을거에요