함수 그리는 게 익숙해야 합니다
2~3 등급 분들을 과외하면서 느낀 건,
본인의 풀이가 수식에 치우친 분들이 많다는 거였어요.
그래서 이번 칼럼을 준비했습니다.
"이럴 때 그려라" 와 같은 말을 하는 건 아니구요,
(애초에 그런 분류는 잘못된 접근이라 생각합니다.)
함수를 그림으로 편하게 다루는 모습을 직접 보여드릴 겁니다.
그리고 이걸 하기에 딱 좋은 기출 문제가 있어요.
칼럼 주제에 맞게 문제의 일부만 가져오겠습니다
위 조건을 가지고 f(x)를 그려야 하는 상황입니다.
수식적으로 열심히 미분하고 이거저거 해도 괜찮지만...
사실 그림 몇 개만 슥슥 그려서 끝낼 수 있어요.
일단 왼쪽부터 그려봅시다.
즉 얘를 그려야 하는데, x가 절댓값 밖에 있는 게 거슬리네요.
이걸 그리라면 편하게 그릴텐데 말이죠.
이때, 삼차함수의 절댓값함수를 그린 뒤에 x를 곱해야겠다고 생각하지 마세요.
절댓값은 무시한 채로 일단
이 놈을 그린 뒤에, 부호만 따로 처리해주는겁니다.
이렇게요.
삼차함수가 x가 0보다 작은 곳에서만 뒤집어졌으니까,
전체 함수도 x가 0보다 작은 곳에서만 뒤집어주면 되겠죠.
지금까지 왼쪽 함수를 그렸습니다.
우린 f(x)가 궁금한거니까 양변을 미분 해야겠죠?
얘를 미분해줄 때 역시 그림만 보고 바로 도함수를 그릴 수 있습니다.
이렇게 되겠죠.
0, a, 2a 에서 x축 지나는 삼차함수 그린 뒤에 x가 음수인 부분만 뒤집어 준 셈입니다.
이걸 미분해서 아는 게 아니라, 그림 보면서 바로 그리는거에요.
이때 이 도함수의 최고차항 계수는 4가 됨을 잊지 마세요.
사차함수 미분했으니 계수로 4가 튀어나왔겠죠.
지금 그린 이 함수가 
이 놈입니다. 왜냐면...
여기서 우항을 미분하면 (a-x) f(x)가 나오니까요.
그럼 아래 그림에서 (a-x)를 나눠준 그림이 f(x)겠죠.
(a-x)를 나누는게 헷갈리신다면,
(x-a)를 나눈 다음에, -부호 처리(함수를 x축 대칭) 해도 되겠습니다.
저는 방금 말한 방법으로 보여드릴게요.
우선 x-a로 나누면
이렇게 되겠죠.
이제 뒤집을게요.
드디어 f(x)를 그렸습니다.
이런 식으로 그림을 통해 바로 미분을 하고, 인수를 나누고, 절댓값 처리를 하고, 적분도 할 수 있어요.
익숙해진다면 정말 빨라질 겁니다.
가벼운 예제 하나 보여드릴게요.
이 삼차함수를 미분해야 합니다.
전개를 한다면 너무 오래걸리겠죠.
곱미분도 은근 귀찮습니다.
도함수를 곱의 형태로 깔끔하게 쓰지도 못하구요.
이때 그림을 이용하는겁니다.
도함수가 바로 보이죠.
가 되겠습니다.
오늘 칼럼은 여기까지입니다.
아까 푼 기출문항 원본 사진과 함께 끝내겠습니다.
답은 4입니다.
#무민
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역시
안녕하세요 잘 보고 있습니다
혹시 (x-a)로 나눠서 그래프가 어떻게 바로 나온건가요? 중간 과정을 모르겠습니다 ㅜㅜ
감사합니다
그냥 머릿속으로 4x(x-a)(x-2a)를 떠올리고 나눠서 0, 2a를 근으로 갖는 이차함수를 바로 그리신건가요? 아님 이 과정을 안 거치고도 그릴 수 있는 방법이 있는건가요?
말씀하신게 맞습니다.
다만 조금만 더 시각적으로 표현해보자면
인수를 나눈다는 것을, 근을 하나를 빼버리는걸로 인식해주는겁니다
그래서 남은 근인 0, 2a만 지나는 이차함수를 바로 그리는것이죠
답변 감사합니다 :)
와 진짜 미쳤네요 풀이가,,,,
잘 읽었습니다! 이런 칼럼 앞으로 자주 써주시면 감사하겠습니다 ㅜㅜㅜ
goat..
안녕하세요 정말 좋은 글 감사합니다 그래프 상으로 3차함수를 (x-a)로 나누었을 때 x가 0보다 작은 부분이 x축에 대칭으로 뒤집히는 것이 이해가 힘들어 댓글 남겨봅니다 일반적인 삼차함수 상으로는 함수값이 0보다 작아야하는 부분이지만 특수하게 x축과 대칭인 상태이므로 (x-a) 로 나뉘어 생긴 이차함수 마저도 이 부분은 일반적인 이차함수와 반대로 x축과 대칭이어야 한다고 이해했는데 맞는 생각인가요? 혹 아니라면 조금만 자세히 설명해주실 수 있으실까요?
x-a는 x가 a보다 작을 때 음수의 값을 가집니다.
따라서 x-a를 나눠버리면, 음수로 나눠버리는 셈이기 때문에
x가 a보다 작은 곳에서는 부호가 뒤집혀버릴 겁니다.
즉 x축보다 위에 있던 놈이 x축 아래로 가야 하죠
정말 감사합니다
신