최대 최소 극대 극소 (Global/Local + Max/min)

뭔가 혼자 엄청 크거나 혼자 엄청 작은 값을

extreme value라고 합시다.

이차함수 f(x)=x^2+x+1에 대해

x=-1/2일 때 함숫값 3/4은 extreme value입니다.

혼자 작기 때문입니다.

우리가 최솟값, minimum이라 부르기도 합니다.

근데 이렇게 최댓값이나 최솟값은 아닌데

그 근처에서 바라봤을 때 최댓값으로 생각할 수 있거나

그 근처에서 바라봤을 때 최솟값으로 생각할 수 있는

그러한 값들이 있습니다.

얘네도 extreme value로 분류해줍니다.

그런데 앞에 봤던 최대, 최소와는 구분해줍니다.

local extreme value라고 해줍시다.

따라서 최대, 최소는 local maximum, local minimum과

구분하기 위해 global maximum, global minimum으로

불러 줍시다.

따라서 extreme value를 위와 같이 분류해봅시다.

최대와 최소가 있고.

그 근처에서만 최대 혹은 최소로 볼 수 있는 애들이 있고

멀리서 봐도 최대 혹은 최소로 볼 수 있는 애들이 있습니다.

교과서에는 다음과 같이 소개합니다.

Local Minimum : 극소

Global Minimum : 최소

Local maximum : 극대

Global maximum : 최대

근데 저는 극, 최보다 local, global이 알아듣기 편해서

local max와 local min, 그리고 global max와 global min으로

부르기를 좋아합니다. 더 직관적이라 생각하기도 하고요!

극, 최는 우리가 극상위권, 최상위권 할 때는

극상위권이 훨씬 공부 잘하는 집단을 일컫는 표현으로 쓰곤 하는데

여기선 특정 지역에서만 센(?) 애들을 극이라 하고

전지역에서 센 애들을 최라고 하니 반대 느낌이잖습니까.

뭐 아무튼 돌아와서...

우리가 후에 수학2에서 a를 정의역의 원소로 하는 어떤 함수 f(x)에 대해 

x가 a에 한없이 가까워질 때 f(x)가 한없이 가까워지는 값이 존재한다면

그 값을 함수 f(x)의 x=a에서의 극한값이라고 하고

함수 f(x)의 x=a에서의 극한이 수렴한다고 합니다.

그리고 x=a에서의 극한값과 함숫값이 일치하면

함수 f(x)가 x=a에서 연속이라고 합니다.

만약 어떤 닫힌 구간 [p, q] 내의 모든 x값에 대해

함수 f(x)가 연속이라면 우리는

구간 [p, q]에서 함수 f(x)가 연속이라고 합니다.

참고로 닫힌 구간, 열린 구간을 논할 때는

위와 같이 생각합시다. 좌표평면에서 (Cartesian Coordinate)

점의 좌표를 논할 때에도 (p, q)와 같은 표기로

x좌표와 y좌표를 나타내지만... 구간 끝을 포함하지 않는

열린 구간을 이야기할 때도 (p, q) 표기를 사용합니다.

위 내용이 최대 최소 정리 혹은

The Extreme Value Theorem입니다.

쉽게 말해 고1 수학 입장에서는

실수 전체의 집합에서 연속인 다항함수에 대해

어떤 닫힌 구간을 잡으면 그 구간 내에

반드시 다항함수의 최댓값과 최솟값이 존재한다는 것입니다.

아까 보았던 이 그림에서는 구간 [-1.5, 3]에서

x=-3/2일 때 최솟값, x=3일 때 최댓값을 지니죠?

즉, 구간 [-1.5, 3]에서 주어진 함수 f(x)=x^3-x+1는

x=-1.5에서 Global Min을, x=3에서 Global Max를 지닙니다.

구간을 [-0.75, 1]로 좁혀보면 어떨까요?

이러면 더 이상 x=-0.75나 x=1과 같은

구간의 끝값에서 함수가 Max/Min을 지니지 않습니다.

대신 

여기랑

여기에서 각각 Local Max와 Local Min을 지닙니다.

뭐 이런 식으로 생각하자는 것입니다.

1. 연속 함수는 닫힌 구간에서 항상 Max / Min 존재

2. 구간 [p, q]에서 f(p) 혹은 f(q) 혹은 Local Max 혹은 Local Min 이

최대, 최소가 될 수 있음 (Global Max 혹은 Global Min이 될 수 있음)

어떻게 보면 Local Max/Min일 때

Global Max/Min이 되는 기회를 잡는 셈이죠.

우리 고등학교에서도 1등을 하지 못하면 

전국에서 1등을 하지 못하고

대한민국에서도 1등을 하지 못하면

전세계에서 1등을 하지 못한다는 생각으로

경쟁에 치열하게 임해보시면 어떨까 하는 생각이 듭니다.

물론 이는 진보와 보수라는 이념의 문제,

좌와 우라는 이념의 문제와 깊이 연관되어 있지만

어쨌든 공부를 하는 우리 입장에서는

대학수학능력시험 혹은 내신 평점?이라는

결과물을 얻어낼 때까지 

경쟁에서 패배한 자의 마음 가짐으로 임하기보다

반드시 승리해내리라는 마음 가짐으로 하루 하루를 보내는 것이

좋지 않겠습니까.

그렇다고 같은 반 친구, 같은 학교 친구를 경쟁자로 바라보진 마시고...

높은 확률로 다른 학교 친구를 경쟁자로 인식하는 것이

더 도움이 될 확률이 큽니다.

외대부고 등 특수한 학교 몇 군데 말고!

이러한 맥락에서 이차함수의 닫힌 구간에서의 최대 최소를

생각해보시면 앞서 학습한 Global/Local + Max/Min의

네 가지 경우의 수와 The Extreme Value Theorem에 

근거해 이해해볼 수 있으실 것입니다.

이렇게 공부해두시면 후에 수학2 공부할 때

이렇게 공부하지 않은 학생들에 비해

더 쉽게 이해도를 높여볼 수도 있을 것이고요!

+ Local Max라고 Global Max는 아니지만

Global Max면 당연히 Local Max이기도 하겠죠?

우리 학교 전교 1등이 전국 1등이라 단정지을 수는 없지만

전국 1등이 우리 학교면 당연히 우리 학교 전교 1등인 것과

같습니다. (정시 기준) 비슷한 방식으로 Min도 이해해보세요~~