약연 [1217741] · MS 2023 (수정됨) · 쪽지

2024-01-08 22:09:59
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-수II, [미소변화율을 논함]

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바로 문제부터 보시겠습니다, 다음 문항을 보고 떠오르는 풀이의 방향성을 정해봅시다! 


*다 해결하셔도 좋고, 풀이 방향성만 마음속으로 정하셔도 충분합니다 :D



(킬러배제가 이행된 어떤 가능세계입니다)

22번. k = a -b루트c 일 때, a+b+c의 값을 구하시오. [4점]

다 정하셨나요? 

제가 문제를 처음에 보고 든 생각을 그대로 적자면


"허접 허접한 EBS 문제니 딱 봐도 계산 파티겠군요, 연립해서 근을 찾고, 구간 나눠서 두 번 적분해서 k에 대한 함수로 나타내고 넓이함수를 미분하면 되겠군요!"


위 풀이가 아마 출제자가 의도한 풀이가 아닐까 추측됩니다 수능완성 유형편에 실려있던 본 문제의 공식 해설은 다음과 같습니다.

역시 계산은 좀 많지만, 흠잡을 곳 없는 자명한 풀이입니다.

그치만 이 문항은 23년 6월 모평 20번 문항 이후 출시된 수완이기에 풀고 나서 뭔가 쎄함을 느끼게 되더군요


바로 k를 미세하게 움직임에 따라, 변하는 넓이의 미소변화를 시각적으로 나타낼 수 있지 않을까요?




다시 22번 문제에서 k값을 조금씩 키워가며 관찰하겠습니다.

이때 첫번째 넓이부분을 A, 두번째 넓이부분을 B라 하겠습니다 



이 행동의 핵심은 다음과 같습니다.

->

Y=kx를 진짜 엄청 미세하게 위로 움직임에 따라 A부분의 넓이는 파란 형광펜만큼 줄고, B부분의 넓이는 빨간 형관펜만큼 늘어납니다. *파란 형광펜 부분을 dA, 빨간 형광펜 부분을 dB라고 하겠습니다.

(원의 넓이를 미분하면 원의 둘레가 나오는 것과 비슷한 맥락입니다. )


Y=kx가 위로 움직인다고 할 때, 사진에서 더 움직여도 여전히 감소하는 넓이 dA가 증가하는 넓이 dB보다 크기에 총 넓이함수는 감소할 것 입니다.


언제가 넓이함수의 증감이 바뀌는 지점일까요?


dA>dB일땐 쭉 감소하다가 dA=dB를 거쳐 dA<dB이면 증가하겠군요


즉 넓이함수의 극소는 dA = dB일 때겠군요.


넓이 비가 1:1일때 , dA의 넓이 : dA+dB의 넓이가 1:2 

작은 삼각형 : 큰 삼각형은 1:2 이고, 길이비는 1:루트2 이므로 C, D의 x좌표 비가 1:루트2 임을 알 수 있고, 세 점이 한직선에 놓임을 기울기 동일하다는 식으로 추출함으로써 k를 쉽게 구할 수 있습니다.

Solution)

(23년 수능에 나올 줄 알고 엄청 팠었네요 ㅎ..)


한 변수를 미세하게 움직이며 넓이의 증가량, 변화량을 직관적으로 비교하는것, 이것이 넓이의 미소변화율을 다루는 핵심입니다.


문항에 따라 넓이의 미소변화량의 생김새가 함숫값(23.06.20), 함숫값을 세로로 하는 직사각형(예전 나형 어딘가), 삼각형, x축과 평행한 선분(드*워크북), 원의 일부(기하 평벡n제 어디선가)등 다양한 형태이기에 직접 움직이면서 상황에 맞게 관찰하는게 좋습니다.




위 내용과 더불어 피카르드 수렴정리, 로피탈 등 고급지식을 전수해주신 고3 담임쌤이 새삼 대단해 보이는군요..


긴 글 읽어주셔서 정말 감사합니다!  :D

반응이 좋으면 23.06.20등도 미소변화율 풀이로 올려보겠습니다!




rare-울프럼알파와 A+을

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