준킬러도 평가원 기출 분석이 중요하다 (ft. 공교육 범위 내에서의 출제)

2021학년도 6월 나형 11번입니다. 두 점을 지나는 직선의 방정식을 세워 원점을 지남을 이용해 a값을 결정할 수도 있지만 주어진 두 로그함수가 밑에 4를 2^2로 바꾸거나 2를 4^(1/2)로 바꾸었을 때 같은 x값에 대해 y값이 2배가 되는 관계에 있음을 확인하면 계산량을 조금 더 줄일 수 있었습니다.

2022학년도 수능 13번입니다. 두 점을 지나는 직선의 방정식을 각각 세워 y절편이 일치함을 이용해 a, b에 대한 관계식 하나를 얻을 수도 있지만 주어진 두 로그함수가 같은 x값에 대해 y값이 2배가 되는 관계에 있음을 확인하면 결국 주어진 두 직선의 교점이 원점임을 통해 계산량을 조금 더 줄일 수 있었습니다.

2021학년도 6월 나형 28번입니다. 우변의 이차식이 의미하는 것은 좌변의 시그마 안에 있는 식이 등차수열임입니다. (4n-3)/a_n을 바로 4n+5로 확인해 a_n이 (4n-3)/(4n+5)임을 확인하면 a_n이 b_(n-2)/b_n 꼴임을 이용해 답을 낼 수 있었습니다.

2024학년도 6월 9번입니다. 정확히 같은 문제로, 우변의 이차식이 의미하는 것이 좌변의 시그마 안에 있는 식이 등차수열임을 확인했다면 1/[(2n-1)a_n]을 바로 2n+1로 작성해 a_n이 1/[(2n-1)(2n+1)]임을 확인했으면 되었습니다. 2106나28과 다르게 a_n이 2칸 건너 곱하면 약분되는 구조가 아니라 부분 분수 공식을 이용해 직접 망원화했어야 합니다. 참고로 이를 수식으로 비교하면

임을 이용할 때

각각의 문제에서 a_n이 위와 같이 구해져

문제에서 요구하는 바를 조금 간단하게 구해볼 수도 있음을 확인하실 수 있겠습니다.

2020학년도 수능 나형 30번입니다. 한 번에 y=x, y=-x의 그래프를 그려두고 상황을 만족하는 y=f(x)의 그래프를 그려볼 수도 있지만 이는 발상적이라고 느꼈습니다. 조건을 하나씩 고려해봅시다. 

(가) 조건부터 고려할 것인데 주어진 f(0)=0, f'(1)=1 조건을 고려하면 g(x)=f(x)-x라 할 때 g(0)=0, g'(1)=0임을 확인할 수 있습니다.

그렇다면 가능한 상황은 3가지입니다. 방정식 g'(x)=0이 서로 다른 두 실근을 갖지 않으면 방정식 g(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가질 수 없음을 확인했다면 방정식 g'(x)=0의 1이 아닌 근을 k라 할 때 상황을 생각해봅시다. 참고로 현 수능 수학에서 대부분의 복잡해보이는 상황은 일단 정리할 수 있는 대로 정보를 정리한 다음에 차분하게 경우를 분류하고 생각해보면 시험 현장에서 충분히 답을 낼 수 있습니다.

i) k>1일 때

적당히 그래프를 그려봅시다. 만약 g(1)<0이라면 방정식 g(x)=0가 한 개의 실근을 가집니다. 따라서 g(1)<0은 아닙니다. g(1)=0이라면 함수 g(x)는 구간 (-inf, 1)에서 증가하는데 g(0)=g(1)=0이니 모순입니다. 따라서 g(1)>0입니다. 그럼 x>1에서 함수 g(x)가 x축에 접해야 (가) 조건을 만족할텐데 그것은 g'(k)=g(k)=0을 의미합니다. 식을 정리해주면 k=3을 얻습니다.

ii) k<1일 때

적당히 그래프를 그려봅시다. 만약 g(k)<0이라면 방정식 g(x)=0가 한 개의 실근을 가집니다. 따라서 g(k)<0은 아닙니다. g(k)=0이라면 g(k)=g(0)=0인데 만약 k=/=0이라면 방정식 g'(x)=0의 k가 아닌 근이 음수여야 하므로 모순이 발생합니다. 따라서 k=/=0일 때 g(k)>0입니다. 그럼 x>k에서 함수 g(x)가 x축에 접해야 (가) 조건을 만족할텐데 그것은 g'(1)=g(1)=0을 의미합니다. 식을 정리해주면 k=1/3을 얻습니다.

혹은 k=0이어도 상황이 성립합니다. g(x)=px^2(x-3/2)가 되기 때문입니다.

각각의 상황에서 g(x)=px(x-3)^2 이거나 g(x)=px(x-1)^2 이거나 g(x)=px^2(x-3/2)이므로 f(x)=x[p(x-3)^2+1] 이거나 f(x)=x[p(x-1)^2+1] 이거나 f(x)=x[px(x-3/2)+1]임을 확인하실 수 있습니다. 이제 (나) 조건을 고려하기 위해 함수 f(x)+x를 관찰해봅시다. 각각의 경우에서 식은 f(x)+x=x[p(x-3)^2+2] 혹은 f(x)+x=x[p(x-1)^2+2] 혹은 f(x)+x=x[px(x-3/2)+2]로 결정됩니다. 

i) f(x)+x=x[p(x-3)^2+2]

일단 x=0을 근으로 갖습니다. 다항방정식은 서로 다른 허근의 개수가 짝수개로 존재합니다. 따라서 삼차방정식은 실근의 개수가 홀수인데 서로 다른 실근의 개수가 2개이려면 하나가 중근일 수밖에 없습니다. x=0이 중근이라면 p=-2/9인데 최고차항의 계수가 양수라고 했으므로 모순이 발생합니다. 따라서 x=0은 단일근이고 이차방정식 p(x-3)^2+2=0이 중근을 가져야합니다. 하지만 p(x-3)^2는 항상 0 이상이므로 근을 갖지 않아 모순이 발생합니다.

ii) f(x)+x=x[p(x-1)^2+2]

같은 방식으로 이차방정식 p(x-1)^2+2=0이 중근을 가져야하지만 그럴 수 없습니다.

iii) f(x)+x=x[px(x-3/2)+2]

일단 x=0을 근으로 갖습니다. x=0에서 중근을 갖진 않습니다, 이차방정식 px(x-3/2)+2=0은 x=0을 근으로 가질 수 없기 때문입니다. 따라서 주어진 이차방정식이 중근을 가져야하고 계산해보시면 (판별식 or 최솟값이 0) p=32/9가 되어 상황을 만족합니다.

따라서 f(x)+x=x[32/9x(x-3/2)+2]가 되고 양변에 x=3을 대입해주면 f(3)값을 구하실 수 있겠습니다.

2022학년도 6월 22번입니다. 앞서 삼차방정식이 서로 다른 두 실근을 갖는다면 하나가 무조건 중근이 될 수밖에 없음을 확인했기 때문에 (가) 조건은 쉽게 치환 가능합니다. 근을 a, b (a<b)라고 할 때 f(x)=p(x-a)(x-b)^2거나 f(x)=p(x-a)^2(x-b)가 될 것입니다. 

문제는 (나) 조건인데 x-f(x)=g(x)로 치환하여 다시 g(x)를 합성해 g(x)-f(g(x))=g(g(x)) 꼴을 만든 후 (나) 조건이 의미할 때가 f(g(x))=0임을 이용해 합성방정식 g(x)=g(g(x))을 풀 수도 있겠고 y=f(x)에 y=x-f(x)가 합성된 형태임을 이용해 한 번에 그래프 개형을 추론해봐도 괜찮겠고 혹은 사교육 걱정 없는 세상이 주장하는 것처럼 9차함수의 그래프 개형을 나열하여 무엇이 상황을 만족할지 생각해봐도 좋겠습니다.

하지만 앞선 2020학년도 수능 나형 30번의 맥락을 이어 우리는 차분히 하나씩 고려해보고, 경우를 나누어 생각해봅시다. (가) 조건에서 두 가지 상황을 얻었고 (정확히는 최고차항의 계수가 양수일 때와 음수일 때도 나누어야하니 총 4가지 경우가 존재하는 셈) (나) 조건을 어떻게 해석해야할지 생각해봅시다. 방정식 f(x-f(x))=0이 의미하는 바는 방정식 f(x)=0이 의미하는 바에서부터 해석을 시작하면 좋습니다. 두 번째 방정식을 만족하는 x값이 a, b임을 우리는 (가) 조건에서 직접 설정한 바에 의해 확인할 수 있습니다.

그렇다면 첫 번째 방정식을 만족하는 x값은 x-f(x)=a 혹은 x-f(x)=b를 만족하는 x값일 것입니다. 달리 말하면 함수 f(x)와 직선 x-a 및 x-b 와의 교점의 x좌표가 될 것입니다. 이제부터는 직접 네 가지 상황에 대해 두 직선을 그어보시고 가능한 2가지 경우를 찾아 f(1)=4, f'(1)=1, f'(0)>1 조건을 이용해 상황을 정리해주시면 되겠습니다.

2020학년도 9월 가형 15번입니다. 주어진 지수함수와 로그함수의 관계를 살펴보면 y=e^x를 y=x에 대칭이동한 후 x축에 대칭이동한 함수가 y=-ln(x)임을 확인하실 수 있습니다.

2024학년도 6월 21번입니다. 주어진 지수함수와 로그함수의 관계를 살펴보면 y=2^(x-t)를 y=x에 대칭이동한 후 y=t에 대칭이동한 함수가 y=t-log_2 x가 됨을 확인하실 수 있습니다.

이처럼 꼭 킬러 문항뿐 아니라 준킬러 문항들도 옛 평가원 기출로부터 비슷한 아이디어를 학습해 문제에 적용할 수 있음을 확인할 수 있습니다. 이것이 당연한 이유는, 우리는 학교에서 교과서로 수학을 배우고 한국교육과정평가원은 교과서에 근거하여 수학 문항을 출제하기 때문입니다. 학교에서 배운 것이 교과서에 담긴 내용밖에 없으니 평가원도 교과서에 담긴 내용만 갖고 문항을 제작할 수밖에 없으며 따라서 몇 달, 몇 년이 지나도 계속 비슷한 문제가 출제되는 것입니다.

이것이 평가원 기출 분석의 중요성이며 6월이 지났든 여름방학이 되었든 본문에서 서술한 정도의 통찰을 지니지 못한 상태라면 n제고 실모고 평가원 기출 분석부터 하는 것이 적절하다고 생각합니다. 물론 머리가 좋거나 수학을 잘하시는 분들은 어떻게 공부하든 좋은 성적을 받으시기 때문에 문제 없습니다. 저는 항상 저처럼 수학적 재능이 없어서 내신 대비할 때 교과서에 없던 문제 나오면 틀리는 학생 분들을 위한 말씀을 드리고 있습니다.

수능은 고등학교 3년을 제대로 보냈는지, 그래서 이 학생이 대학에 가서 원활히 학습을 이어갈 수 있는지를 확인하기 위해 출제되는 시험이고 대학은 수능 성적을 갖고 원활히 학생들을 판단할 수 있습니다. 이미 공교육에서 다루고 있는 내용으로만 문제를 출제하고 있고 과거 가형/나형 시절과 다르게 수학의 난이도가 낮아져 킬러 문항이라 말할 문제가 사라지고 있는 판에 공교육에서 다루지 않는 내용으로 문제를 출제하지 말라하고 킬러 문항을 없애라 하는 것은 이미 영재고, 국제고, 외고, 예고가 있는데 영재고, 국제고, 외고, 예고를 만들라고 이야기하는 것과 같습니다.

지금처럼의 흐름대로라면 9월 모의고사 시험지가 공개되어야 2024학년도 수능 시험지의 출제 경향을 예측해볼 수 있겠지만 적어도 대학 입시에서 변화를 불러온다면 1-2년 전에는 예고하고 움직이는 것이 적절하지 않나 싶습니다.