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이동훈t [291047] · MS 2009 (수정됨) · 쪽지

2023-05-29 19:25:07
조회수 7,464

[이동훈t] 22/23 6월 기출 비교 (+보편적인 풀이)

게시글 주소: https://mission.orbi.kr/00063140416

2024 이동훈 기출

https://atom.ac/books/10552/



안녕하세요. 




이동훈 기출문제집의 

이동훈 입니다.


오늘은 2022/23 학년도

6월 모평을

대조 비교해 보겠습니다.


보편적인 풀이법에 대해서도

간단하게 언급할 것이고 ...


시험장에서 어떻게 문제를

해결해야 하는지에 대해서

고민해보길 바랍니다.


힐 위 고 ~!


단, 교과서 예제, 유제, 연습문제 수준의

문제들은 제외합니다.


문제 다 푼 분들만 보세요 ~!


< 공통 >


위 : 2022 학년도

아래 : 2023 학년도


(이후도 모두 같습니다.)


위: (f(x))^2 의 연속성 (x=a)

아래: |f(x)| 의 연속성 (x=-1, x=3)


함수는 다르지만

점에서의 연속성을 묻는다는 점에서

같은 문제입니다.


그래프의 개형 보다는

산술적인 접근이 좋아 보이구요.


다음의 필충 관계는 반드시 알아두어야 합니다.


A^2 = B^2 (필충) A=B 또는 A=-B

|A|=|B| (필충) A=B 또는 A=-B


위의 필충 조건이 이번 6월에도 나올까요?

안 나오면 이상한 거겠죠.




위: 이차방정식의 근의 분리

아래 : 이차방정식의 근 구하기


둘 다 교과서 연습문제 수준이고 ...

위의 문제는 로그함수의 그래프+사이값 정리

로도 풀이가 가능합니다.



2022 학년도 문제입니다.


이런 유형은 교과서 연습문제에서도 

자주 다루고 있는데요.


함수의 평행이동, 대칭이동 + 주기성

이 적분과 결합된 유형입니다.


2023 학년도에는 유사한 문제가 없었습니다.




둘 다 코사인법칙에 관련된 문제입니다만.


차이점 이라면 ...


위: 이등변삼각형의 성질 + 삼각형의 닮음

아래: 원주각의 성질(+할선정리) + 삼각형의 닮음


평면 도형 문제를 풀 때,

실마리가 잘 보이지 않는다면

각을 다 써보면 됩니다.


이건 중등부 선생님들이 매번 강조하는건데 ...

뭐 ... 중학교 졸업한지 워낙 오래 되었으니깐 ...


각 다 쓰고 ...

닮음 찾으면 되는데 ...

그게 어려울려나 ...


올해 6월의 평면 도형 문제도 비슷하게 나오겠지요.



군수열은 이제 ...

평가원에서 너~무~나~도~ 

즐겨 출제하는 주제가 되었습니다.


두 문제 모두 마디를 찾아야 하는데요.


위: 루트k 가 정수가 되는 k의 값

아래: 0


이 마디가 됩니다.


위의 문제는 비교적 마디가 쉽게 보이고 ..

아래의 문제는 k의 값을 1, 2, 3, ... 으로

고정시킨 상태에서 수열을 나열하면 되겠지요.

(k, {an}에 대한 표를 그리는 것입니다.)


두 개의 문자를 주었을 때,

하나를 고정시키고 나머지의 값을 변화시키는 것은

평가원이 자주 다루는 소재입니다.



구간에 따라 정의된 함수를 소재로 하는 문제들입니다.


위: 미분법 (그래프 개형+미분가능성)

아래: 적분법 (도함수의 그래프 개형)


두 문제 모두 미적분이 어렵다기 보다는 ...

절댓값 처리 라던지 ...

곡선의 어떤 부분을 접어서 올려야 하는지가

다소 까다로울 수 있습니다.


이건 최근 수능의 경향과 연관이 있는데요.


직접 출제 범위를 조잡하게 꼬는 것보다는

중학교 수학, 고1 수학

을 결합시켜서 난이도를 높이고 있습니다.


그런데 이게 잘 통하니까 ...


내가 고1 교과서 풀라고 하는게 ...

그냥 하는 말이 아니예요.


9월 이후에 후회들 마시고 ...

6~8월에 고1 교과서를 풀자 !




2022 학년도 문제인데요.


곡선 위의 점 (alpha(t), t)을 잡고

역함수의 관점을 묻고 있습니다.


이 문제 역시 어렵다기 보다는 ...


고1 과정에서 곡선과 점의 관계에 대한 연습이

잘 되어 있는 가를 평가하고 있습니다.


올해 수능에서도 곡선과 점의 관계를 출제할까요 ?


당연하죠.


이거 출제 하지 않으면

도대체 어떤 문제를 낼 수 있는 걸까요 ?



정적분 함수의 극대, 극소에 대한 전형적인 문제입니다.


함수 f(x)가 x=a에서 극값을 가지면


f ' (a)=0 이고, x=a의 좌우에서 f ' (x)의 부호가 바뀐다.


이 정리를 정확하게 사용하면 됩니다.


위: a->x 적분 {f(t)}^4 dt 의 부호가 

x=a의 좌우에서 어떻게 변하는지를

알 수 있어야 합니다.

(영역 색칠해본 경험 필요)


아래: 이차함수가 주어졌으므로

대칭축을 우선 찾고 ...

상수항을 결정하면 됩니다.


고1 수학이 미천한 분들의 경우

아래 문제에서 이차함수의 상수항을 

결정하지 못하는 경우가 많은데.


고1 교과서를 푸세요.

거기 연습문제에 있으니까.






2022 학년도는 이차함수의 그래프 개형이

21 번에서 출제되었군요.


로그의 값이 정수가 되는 유형의 문제들은

워낙 자주 다루어지고 있어서 ...


반드시 정리해두어야 합니다.


2024 이동훈 기출 수학1 평가원 편에

빼곡하게 정리되어 있습니다.



삼차함수의 그래프가 직선과 두 점에서 만난다.


이 상황이 출제되지 않는 해가 있을까요 ?


당연히 없습니다.


조건 (나)에서 3=2+1 이 바로 보여야 하고요.

(어차피 1, 2, 3 중에 하나니깐.

이런거 바로 안보이면 어떻게 1등급 받아요?)


(가)에서도 접하고

(나)에서도 접한다는 말이지요.


f ' (1) = 1

에서 일치 또는 평행이

머릿 속에 떠올랐다면

당신은 이미 수능 전문가 !


이런 문제는 클리쉐이고 ...

30 초 안에 그래프의 개형이

나와야 합니다.


그래야 나머지 문제

검토를 하지 ...





2023 학년도에 출제된 평균값 정리에 대한 문제입니다.

(나)에서 적분을 취하는 것도 가능하긴 한데.

접선의 기울기 관점에서 해석하는게

여러모로 이득 입니다.


어차피 답은 등호 일 때 이긴 하지만서도 ~


2022 학년도에는 평균값 정리가 출제되지 않았습니다.



2023 학년도 문제인데요.


(가)에서 a6=0 바로 나왔다면

경험치가 부족한 분 ...


12 번 이니까 ...

a6>=0, a6<0

이렇게 두 개로 나눠서 생각해 주어야 한다.

입니다.


(나)에서 주어진 절댓값은 그냥 벗기면 되고요.


어떤 심오한 기하적 상황 ...

이런거 따질 시간에 그냥 계산을 하자.



2023 학년도 문제입니다.


가끔 등장하는 거미줄 도형입니다.


(2022 학년도에는 거미줄 도형이 없었고요.)


점의 좌표를 하나 하나 찾아도 좋고 ...


y=16^x=2^4x, y=2^x

의 비례관계 이용해도 좋고요.


아무래도 후자가 좀 더 빠르긴 합니다.


2023 학년도 최고 난문입니다.


(2022 학년도에는 함수의 극한 계산이 어렵게 출제되지는 않았습니다.)


붉은 칸에 들어가는 분수식의 분자를 왜 유리화 하는가는 ...


0/0 꼴


이어서 그렇습니다.


(교과서 보세요 ... 

저 꼴은 다 유리화 하지.

무리식 있으면)


두 문자 t, x 의 관점에서 보면 ...


결국 x가 사라지고 t만 남아야 합니다.


왜냐하면 x->-3 이어서

x는 숫자가 되어 사라지거든요.


결국에는 t만 남는 분수식의 값이 존재하지 않는 

경우를 묻고 있으므로

분모가 (t+3)(t-6)을 가져야 한다.


여기까지가 눈으로 풀 수 있어야 합니다.


중간 계산 과정에서

미분계수를 포함한 극한식에 대한

계산을 해 본 경험이 있어야 하고 ..


그런데 여기까지 다 했어도 ...


마지막 단계에서 두 집합이 상등에 대한 

연습이 되어 있지 않으면

답까지 도달하지 못합니다.


내가 작년에 만났던 2~4등급들도

위의 문제 ... 

마무리를 잘 못하더라고.


9월 전에 고1 교과서 푸세요.


내가 몇 번 째 강조를 하는건가 ...


수능날 울지 말고 ...




< 확통 >




이항 정리는 좀 뻔하고 ...


둘 다 조건부 확률인데 ...


위의 문제는 교과서 연습문제 수준이고,

아래의 문제는 그 이상 이지만.

사실 가능한 경우를 다 쓰면

그렇게 시간이 오래 걸리지도 않습니다.


서로 다른 숫자들의 대소 비교 이니.

H가 아닌 C이고.


a, b, c 에 대한 부등식이 주어졌으므로

a의 값을 고정시킨 상태에서 b, c의 값을 결정,

a, b의 값을 고정시킨 상태에서 c의 값을 결정,

...

이렇게 순서쌍을 찾아가면 됩니다.


(이런 연습 ... 고1 순열조합에서

다 하게 됩니다.)


이런 유형의 문제들은

평가원 기출, 교사경 기출에 너무 많고 ...


아직도 확통 어려운 분들은

기출 다시 풀어보세요.





중복순열에 대한 교과서 연습문제 수준의 문제들입니다.

제한 조건에 따라서 특정 자리에 올 수 없는 문자를 생각해야 하고,

여집합을 사용할지 말지를 결정하면 됩니다.


저 정도면 어렵지 않지요.



중복조합에 대한 전형적인 문제입니다.


푸른 칸을 만족시키는 경우의 수는 참 쉽지요.

하지만 붉은 칸에 들어가는 제한 조건이 붙어서

문제의 난이도가 높아집니다.


붉은 칸 먼저 생각해서 경우를 구분하면 되겠습니다.


독립시행의 확률에 대한 전형적인 문제들입니다.


역시 교과서 연습문제에 같은 유형의 문제들을

찾아볼 수 있습니다.


이래서 ... 확통은 공부 안 하면 손해 봅니다.





2022 학년도 문제인데요.


같은 것이 있는 순열의 수 + 중복순열

이 결합된 문제입니다.


4, 5, 6 을 같은 것으로 간주한다.

라는 점을 파악한다면

어렵지 않습니다.


경우의 수 문제를 풀 때,

같은 것으로 간주한다.

라는 상황을

좀 정리해둘 필요는 있습니다.





배수 + 원순열

이 결합된 문제인데요.


배수에 대한 문제가 확통에 출제되지 않은 해는

아마도 거의 없을 것 같은데요.


순열 문제 중에서

특정 숫자 2개가 이웃한 경우,

그렇지 않은 경우

로 구분해야 하는 경우가 있는데.


이런 상황을 원순열에 결합한 것입니다.


이런걸 신유형이라고 보면

좀 촌스럽고요 ...





주머니에서 꺼낸 두 개의 공에 적힌 숫자의

합, 차, 곱에 대한

문제는 워낙에 많은데요.


문제에서 주어진 조건을 만족시키는

순서쌍을 몇 개 쓰다보면

풀립니다.


아래의 문제는 말 그대로 다 쓰면 되고


위의 문제는 30번에 위치해 있으므로

몇 개의 경우를 쓰고

경우의 수를 C, P, PI, H 중에서

무엇을 이용해야 할지 결정하면 됩니다.


그리고 여사건의 관점에서 접근할지

아닐지에 대해서도 판단해야 하겠지요.


확통의 경우 ...

(그리고 나머지 과목들도 마찬가지입니다만.)


이렇게 쭉 보니 ..


어차피 내는 유형이 정해져 있습니다.


변형이 폭도 그리 넓지 않고요.


확통은 정말 기출만 풀어도

다 맞힐 수 있는 과목입니다.


다른 과목들도 마찬가지이지만요.


< 미적분 >





둘 다 평행선의 성질을 묻고 있군요.


문제에서 평행선을 주었는데 ...


동위각과 엇각을 생각하지 않는다면


될까 ? ...







방정식의 필충조건에 대한 문제입니다.


f(x)=g(x) (필충) 1/k*e^x = sinx


가 가장 무난해보이고요.


이 경우에는 두 곡선이 접할 조건에 대한

계산을 하면 됩니다.


e^(-x) * sinx = 1/k


도 왼쪽 곡선을 빠르게 그릴 수 있다면

좋습니다.





둘 다 각의 이등분선을 소재로 하고 있습니다.


각을 모두 쓰고 나면 ...


사인법칙 + 근사적 계산


을 하면 빠른 풀이가 베스트 라는 생각이 들 것이고요.


함수의 극한에서 근사적 계산은

꼭 알아두어야 겠습니다.


아니 ... 그런 문제가 계속 나오니깐.






2022 학년도 문제입니다.


초월함수의 극점과

음함수의 미분법을 

물리적 결합한 문제인데요.


후반부의 음함수의 미분법은

이미 평가원 기출에서 

비슷한 유형이 수 차례 출제된 바 있습니다.


어려운 문제는 아니예요.






붉은 칸을 보고 ...

직각이등변삼각형이 생각나야 하고요.

두 교점의 좌표를 각각

p(t), q(t)

로 두고. 근의 공식을 쓰면 됩니다.


이 문제도 미적분이 어렵다기 보다는 ...

고1 수학 과정에 대한 연습을

평가하고 있습니다.




꼬리가 0 으로 지워지지 않는 급수이지요.

식이 모양에서 이게 파악이 되어야 합니다.






2023 학년도 문제 입니다.


합성함수의 그래프의 개형을 묻고 있는데요.


(1) 미분법으로 계산을 때릴 것인지.


(2) 계산 없이, 롤러 코스터를 타면서

지나는 점을 찍고, 점근선을 찾을 것인지.


선택해야 합니다.


보통은 (1), (2)를 함께 생각하면 되긴 하지만.


(2) 만으로 충분히 빠르게 해결이 가능합니다.


(가): f(1)=0

(나): g(2)<=0

(다): g(2)=0 (이때, 사이값 정리 사용)


즉, f(1)=0, f(2)=1, f ' (2)=0


임을 알게 되고. 마무리만 계산하면 됩니다.


(이런 문제를 full-계산 때리면 ...)



합성함수 문제를 N축으로만 해결하는 분들에게는

이런 식의 빠른 풀이가 잘 보이지 않을 것이고...


뭐 ... 그렇습니다.


변곡접선이 오래간만에 출제되었네요.

이 유형의 문제 중에서는 난이도가 중간 이하입니다.


이처럼 오래간만에 출제되는 소재들은

난이도를 낮춰서 출제되는 경향이 있습니다.



< 기하 >


벡터의 평행에 대한 교과서 예제 수준의 문제들.



이차곡선의 접선에 대한 문제들.


아래 문제 처럼

접선의 방정식은 넓이의 최대최소와

연계되어 출제되기도 합니다.


위는 원, 아래는 직선의 방정식을 다루고 있습니다.

 

둘 다 교과서 수준.




위 : 벡터의 시점 일치

아래 : 벡터의 분해


아래 문제의 경우 벡터의 시점 일치로 접근할 수도 있겠습니다만.

문제에서 주어진 도형이 직각좌표계를 포함하고 있으므로

분해로 접근하는 편이 낫습니다.


벡터의 분해에 대해서는

심도깊게 정리해두길 바랍니다.




위: 쌍곡선의 접선의 전형적인 문제

아래: 쌍곡선의 정의+접선


아래 문제는 수능에서 직접적으로 

출제되기는 좀 힘든 형식인데.


직선 y=2x-3이 접선이 아닐 수 없음을

귀류법으로 증명하면 됩니다.


딱 봐도 접선이 보이는데 ...


이런거 딱 보이면 안된다며 ?

사기꾼 되는 거라며 ?


ㅋㅋㅋㅋ

ㅋㅋㅋㅋ

ㅋㅋㅋㅋ

ㅋㅋㅋㅋ


아니 100 분 안에 30 문제 풀어야 하는데

딱 안보이면 어떻게 푸냐고 ... 



타원의 정의, 원의 정의에 따라서

붉은 선, 푸른 선이 바로 나와야 하고 ...


높이는 공유하는

두 직각삼각형이 보여야 겠지요.


그 외에도 다른 계산법이 가능하긴 합니다.


그런데 높이를 공유하는

두 직각삼각형은 너무 자주 출제되고 있어서.


이게 안보이면 좀 문제가 있는거지.



두 문제 모두 포물선의 정의에 따라서

보조선 그어 주시고 ...


위: 평행이동을 했으니 ... 

두 개의 서로 합동인 직각삼각형이 보여야 하고요.


아래: 삼각형의 높이를 구할 때

두 곡선의 방정식을 연립해야 합니다.


각각 결합된 기하적 상황이 다르긴 한데.


이차곡선의 정의로 보조선 긋는 것으로

풀이를 시작하는 것은 같습니다.





위 : 벡터의 내적과 두 수의 곱의 차이,

벡터의 내적의 기하적 해석 (또는 좌표 도입)

벡터의 내적과 분해 (90도 각 이루게) + 상수/변수


아래 : 벡터와 확대축소,

벡터의 연산과 도형의 이동,

벡터의 분해,

벡터의 크기와 동심원


위의 문제는 벡터의 내적으로

아래 문제는 벡터의 합,차,실수배로

영역을 그리고

벡터의 내적 또는 크기의 M, m을

찾으면 됩니다.


공통된 소재는 역시

벡터의 분해 

입니다.


어떻게 분해를 해야 

동네방네 소문이 잘 날까 ...

생각해보길 바랍니다.


.

.

.



6월 모평 대박 나세요 ~!



ㅇㅁ

ㅊㅊ





2024 이동훈 기출

https://atom.ac/books/10552/


2024 이동훈 기출 실전이론 목록

https://orbi.kr/00062378794


2024 이동훈 기출 문항수, 페이지 수

https://orbi.kr/00061760513


수학 칼럼 링크 ( 2024 수능대비 )

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2024 이동훈 기출 + 개념 기하 평가원/교사경 편

2024 이동훈 기출 + 개념 확률과 통계 평가원/교사경 편


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