증명을 하는 이유
칼럼을 겸한 쪽지 Q&A 기록용입니다.
도움이 되시길.
Q. (학생의 질문)
"증명하는 과정이 수학에서 고난도문제를 대할 때 어떤 효력을 발휘하나요?"
A. (이승효의 대답)
증명이라는 것은,
교과서에 나와 있는 어떤 정리가
참이 되는 이유입니다.
예를 들어, 피타고라스 정리가 있죠.
그게 참인 이유가 증명이에요.
이걸 배우지 않은 상태에서
혼자서 증명하는 것은 어렵습니다.
증명은 과거에 누군가
엄청나게 똑똑한 사람이 한 것이기 때문에,
그걸 우리가 짧은 시간안에 떠올린다는 것은 어렵겠죠.
그러한 증명이 꼬리에 꼬리를 물고 연결되면서
수학이 발전해 온 것이고,
고등학교 교과서는
그러한 연결에 의해서 만들어진 유기적인 내용입니다.
예를 들어, 수학1, 수학2, 미적분
순서대로 이어지는 것에는 다 이유가 있는 것이죠.
증명하는 과정이
수학에서 고난도 문제를 대할 때 어떤 효력을 발휘하는가.
1) 증명에는 발상이 있다.
고난도 문제를 풀어봤다면
알겠지만 여러가지 발상들이 필요합니다.
도형문제라면 어떠한 상황에서 보조선을 어떻게 긋는다,
함수의 식이 주어졌다면 어떻게 한다, 등등.
문제만 풀어온 학생이라면
이러한 발상을 문제를 풀어야
배울 수 있는 거라고 생각하겠지만,
사실 수능에 나오는 모든 발상은
교과서 증명 안에 다 들어있습니다.
그것을 바탕으로 수능 문제를 출제하니까요.
제가 오늘 쓴 글에서 미분을 MRI에 비유했는데,
글 중간에 보면 MRI검사를 수백명 해보면서
인체의 신비를 깨달아가는건 어려운 일이라고 했죠?
증명을 배운다는 것은 마치
살아있는 인간을 배우기 전에
해부학을 배운다는 것과 같습니다.
이미 과거에 다른 사람들이 발견한 정보들을 바탕으로
교과서적인 원리들을 먼저 배우는 것이지요.
따라서 교과서 정의, 정리, 증명에서 배운 내용을 바탕으로
기출 문제를 풀게 되면,
문제마다 새로운 것을 배우는 것이 아니라,
문제를 풀면서 교과서 내용을 확인하게 되는 것이지요.
그러한 과정을 기출 분석이라고 합니다.
따라서 기출을 보기 전에
교과서 내용을 정확히 알고 있는건 매우 중요해요.
2) 증명에는 정의가 있다.
증명을 해야 하는 두번째 이유.
미분가능한 함수는 연속함수이다
라는 것을 증명할 수 있나요?
이건 실력지상주의 1주차에서 수업한 내용인데요.
대부분의 학생은 이걸 증명할 수 없습니다.
왜냐하면 미분가능한 함수와 연속함수의
정의를 정확히 모르거든요.
느낌으로만 알고 있고 식으로 정확히 표현할 수 없다면,
매우 쉬운 한줄짜리 증명임에도 불구하고 할 수 없습니다.
그럼 정의를 알고 있는 것이 왜 중요한가,
예를 들어 어떤 함수가 미분가능함을 보여라,
라는 문제가 있을 때 대부분 학생은
1.연속이다. 2.좌미분계수=우미분계수가 같다.
라는 순서대로 문제를 풉니다.
이건 아주 대표적인 잘못된 풀이라고 할 수 있는데,
정의를 잘 모르기 때문이구요,
저렇게 풀리는 3점짜리 문제는 문제가 없는데
4점짜리 문제로 가게 되면 해결이 안되는게 생겨요.
문제풀이의 접근방법은 반드시
정의->정리 순서대로 나아가야 하는데,
오개념으로 풀다보면 접근 자체가 안되는 경우가 생깁니다.
3) 증명에는 논리가 있다
증명을 해야 하는 세번째 이유.
직접 증명을 써보면 알겠지만,
아는 내용이라도
논리적으로 설명하는 것이 쉽지가 않습니다.
그건 학생들이 아직 논리적 사고력
또는 표현력이 부족하기 때문이죠.
교과서에 있는 증명들은 매우 간결하면서도 논리적입니다.
복잡한 증명은 고등학교 교과서에 나오지 않기 때문에
누구나 이해할 수 있는데,
그걸 자신이 직접 해보는건 쉽지 않아요.
강사가 설명하는 내용을 들으면 이해는 되지만
똑같이 설명해 보라고 하면 쉽지 않은것과 같은 이유입니다.
즉, 논리적 사고력을 키운다는 것은 다른게 아니고,
연습입니다.
수학은 그것을 연습하는 학문이에요.
고등학교를 졸업하면 미적분이 쓸모가 없을 수도 있고
대부분의 성인은 수학을 잊어버리지만,
중학교까지만 다닌 사람과 고등학교까지 수학을 배운 사람이
논리적 사고력에서 차이가 나는 것은 수학적인 연습을 했기 때문입니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
기본적으로 실모를 풀든 N제를 풀든 굉장히 정답률이 높으실건데,, 틀리는 걸 두려워...
-
27살은 좀..
-
대충 10개푼다치면 몇문제정도 맞을려나
-
멀까?
-
일단 빙과, 하루히 배경부터 시작해서 jr패스로 전국을 돌아보자
-
심찬우배성민션티현정훈박선
-
이창무 선생님은 2
기출냄새 나면서 그 문제를 가장 심화시켜서 어렵게 만드는걸 잘하시는듯...풀이과정...
-
또가고싶노 12
그립다
-
수학 뭐할까요? 0
2주정도 잡아두고 지금까지 푼 n제 복습 + 서킷x 1일 1회 -> 수완 + 서킷x...
-
이걸 투표해주네 2
이런 착한 옵창들같으니라고
-
취할래 오늘 난 3
I don't wanna get drown 약은먹어너나 이젠웃겨우울감
-
잘먹어야 건강도 안나빠지고 집중도 잘됩니다
-
번따당했는데 5
번호 줄까말까하다가 안 준게 너무 아쉽.. 그냥 냅다 줄껄 ..맘에 들었는데 너무...
-
나도 잘 모르겠다 이젠
-
일반 서바에 비해서 많이 어렵나요? 식센모랑 oz모 다 풀어서 사보려고 하는데요..
-
여행은 개인적으로 12
애지간하게 마음 잘맞거나 연인 아니면 걍 혼자가는게 맘편하고 좋은거 같아요 맘대로...
-
사실 나는 2
삼반수 시작할때 재수때 성적을 많이 올렸었기에 당연히 올릴수있을줄알았고 고려대가...
-
EBS 만점마무리 Black Edition 수학 영역 1회 후기 1
미적분 / 84점 / 예상 1등급컷 84점 12번 찍 / 14. 15. 21. 30...
-
넘보지도못할인싸네 대가릴박습니다
-
(저출산 교권추락 연봉? 등등으로 교사 배제시켜두고 억지로 끌리는 학과 찾아보고...
-
요즘에 너무 멍- 해요 10
-
걸밴크 재밌다 3
수능접고 애니봐야지
-
수학 푸는실모마다 죄다 쳐말아먹어서그런가 ㅅㅂ 앞으로 실모 걍 안풀까함..
-
기억해줄까
-
9월 더프 보고 2
수능 포기하려고했다... 근데 포기하면 어쩌려고 라는생각이 멍청하게도...
-
7지문이나 남았다...
-
야심한 밤 10
책읽기 vs 강의듣기 vs 놀기
-
깐풍육 먹고싶다 8
근데 중국집에서 깐풍기만 파네..
-
ㄹㅇ 완벽한데 사실 수학보정을 심하게 받았지만...
-
이거 어렵나요...? 혹시 이번 수능 망하면 다시 학교로 돌아가야 하는데 1학년...
-
수능 이 개새끼 5
해도해도 전혀 는거 같지가 않네 작년이랑 실력 그대로인듯 ㅇㅇ..
-
진짜 시즌3 10회차빼곤 싹다 어려운데.. 하나는 30점대 뜨고 다들 어떻게 보셨는지..
-
올해 전역하는 군바리입니다 지금 제가 생각했을땐 제가 노베라 판단되긴한데 정승제...
-
ㄹㅇ 사람 평소에 적은데 너무 많아서 서서옴....
-
올해 9모빼고 작수나 올해6모 정도 난이도 실모 찾고있는데 이감수학 적당한가요?
-
시끄럽다고 욕하는것만 있고 ㅋㅋ 역시 오르비
-
한회차당 대략 60분컷을한다. 딱 한번 이렇게 연달아 풀었는데 죽는줄
-
이거 벨로드롬이군
-
스가신사 '그 계단'에서 꼭 사진찍어야지
-
저는 아수라 총정리과제 표지보면서 방구석 불꽃 축제 즐겼습니다..
-
액션마트 배경인 곳도 다녀왔는데 평범한 마트였고 동네 자체도 몇 군데 제외하면...
-
현우진의 11,500원짜리킬링캠프》》52분만에《《96점 4
일리가 없는 백분위 88인데 수준맞춤 범부용 모고 추천 부탁드림
-
레전드 셀카 3
이왜진 이거 진짜임
-
이제 진짜 끝. 1
다시 정상인 모드 ON 굿굿 다들 안녕히주무세요~
-
올해는 괜찮나
hoxy... 새로운 npc의 탄생...?
헉 진짜네
증명은 그럼 독학하고 싶으면 학교에서 썻던 교과서로 하면 될까요?
네~ 교과서에 다 나와있고 독학이니까 설명이 필요하면 유튜브 검색해도 나올거에요.
선생님 칼럼보면서 항상 많은 도움 받고가요... 좋은 글 감사합니다!
도움이 되었다니 기쁘네요. 감사합니다.
선생님 그러면 미분가능성은 어떻게 해야 맞는 풀이인가요?
미분계수가 존재하는 것을 미분가능이라고 해요.