미분고수만 헬프
f(x)는 x=0 일때는 0 그외에는 x2sinx-1
일때 x=0 에서 미분가능성을 조사해라
이런 문제인데요 사실 극한값계산하면 미분가능하다는건 알겠는데요 실제로
x2sinx-1 이 함수를 미분해서 x=0 떄려넣으면 값이 안나와요 왜이러져
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글고 미가능조건없으면아랫분말처럼
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도함수의그래프가 연속이라는보장없지않나요
x2sinx가 2xsinx인가요?? 함수가 2xsinx-1이면 x=0일때 불연속인데 미분 불가;;
도함수 f'(x)가 연속인 경우에 f'(a)를 구하는 방법으로,
"도함수 구해서 x = a 대입 하면 된다"고
설명되어 있는 교과서나 정석 같은 개념서들이 많고,
또한 실제로 그렇게 풀어서 100 중에 99는 이상이 없는데,
위와 같이, 도함수가 불.연.속.인 지점에서도
마찬가지의 논리로 접근하려고 해서 그렇습니다.
특정 점에서 미분이 가능하다는 말은,
1. 그 점에서 연속이고,
2. 좌우미분계수가 같다는 말이지,
도함수 차원에서 좌극한과 도함수의 우극한이 같되,
거기다 도함숫값까지 같아란 얘기는 아니니까요..
도함수 f'(x)가 연속인 경우에 f'(a)를 구하는 방법으로,
"도함수 구해서 x = a 대입 하면 된다"는 맞는 이야기지요. (존재한다면 대입하면 되고, 존재 안 하면 대입해봐야 소용 없고요.)
아마,
도함수 f'(x)가 연속인 경우(단, x=a에서는 연속인지 모르고..)에 f'(a)를 구하는 방법으로,
"(다른 점에서 성립하는) 도함수식 구해서 x -> a 로의 극한을 구하면 된다"라고 설명하는 개념서가 있는데 이는 엄밀하게는 틀린 설명이다..
라는 말씀을 하시려는 것이지요?
이거 0에서 미분이 가능해서 미분계수가 존재하고
f(x)가 0에서 당연히 연속이지만
f'(x)는 0에서 연속이 아닌 예인데
연속확장가능한함수 라고 하네요..구글링하시길
저렇게 한 점에서의 값만 따로 준 경우에만 이런일이
생기는듯
아 그리고 y= f(x) 그래프 그려보세요
Y축에 가까워질수록 진동하면서
0에 수렴하는 기함수입니다
x=a에서 미분계수의 정의
lim(h→0){f(a+h)-f(a)}/h
극한값이 존재하면 미분가능하다고 합니다
위엣분들이 좋은 말씀 해주셨는데 구체적 계산이 없어서 조금 더 첨언하겠습니다.
먼저 x=0아닐 때 y= x^2 sin (1/x) 라는 함수를 말씀하시는 것 같은데 작성자님처럼 표기하시면 못 알아보는 사람들도 상당수 있으리라 생각됩니다.
(x=0일 땐 y=0이고요.) 아시겠지만 y' = 2x sin (1/x) - cos (1/x) 인데요, 이는x=0 아닐 때에만 참입니다. (미분의 정의에 입각하여 계산한 것이, 곧 합성함수 미분 공식 이용해서 미분한 것과 동일.)
단, x=0이라면, y' = lim_{h->0} ( h^2 sin (1/h) - 0 ) / h = lim_{h->0} h sin (1/h) = 0 (샌드위치 정리) 입니다.
x^2 sin (1/x)를 미분해서 x=0을 넣었는데 안 맞는다는 표현 자체가 어불성설입니다. 미분해서 x=0을 대입한 것이 제가 바로 윗줄에서 한 것이고, 그렇게 하면 도함수값이 0 이 나오고요. 님이 하신 것은, x=0이 아닐 때에 한해서 유효한 도함수의 식에다가 x=0을 대입하려 한 것입니다. 만약 도함수가 연속이라면 님처럼 해도 참이겠지만 이 경우에는 도함수가 x=0에서 연속이 아니라서 그 방식이 성립하지 않게 되는 것이고요. 위에 댓글 단 분들과 같은 설명인데 풀어서 써보았습니다.