문제풀때 개념 질문드려요..
수1복습하는중에 지수방정식3^(2x) - 3^(x+1) = a가 서로다른두실근을갖도록하는 a값의 범위를 구하여라. 라는문제였는데요
다른문제에선사용하지않던판별식개념을 저문제에만 판별식을사용하더라구요.. 풀이를봐도 뜬금없이 판별식으로 양의두실근을갖게하는범위도 답에 추가되길래 이해가안됐었는데
서로다른두실근 이란 말땜에그런것같아요.. 그 조건을 추가하지않아서 틀렸는데 문제풀때저런조건을자주놓치는데 고1수학개념이 좀부족해서 문제풀이할때 고1수학개념을끌어와야되는문제는 자꾸틀리는데요ㅠㅠ
고1수학개념완벽하게다시복습하는게나을까요?
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3^x = t 라고 두면 문제의 식 --> t^2 -3t -a = 0 이 됩니다.
원래의 식에서 x가 서로 다른 두 실근을 가지게 된다는 것은, t에 대한 방정식에서 t가 서로 다른 두 양의 실근을 갖는다는 것과 동치입니다. (3^x = t 라서 t는 항상 양수이므로..)
따라서 t^2 -3t-a =0 이 서로 다른 두 양의 실근을 갖을 조건을 찾는 문제입니다.
f(t) = t^2 -3t-a 라 할 때,
1) 일단 y=f(t)라는 이차함수가 최소한, 서로 다른 두 실근을 가져야 하는 것은 당연하므로 (양의 실근도 실근이니까요), 판별식 > 0 이 필요합니다. 9+4a>0
2) 서로 다른 두 실근을 갖는 것만으로 양의 실근임을 보장할 수 없습니다. 양의 실근이려면 이차함수y=f(t) (아래로 볼록)가 t축 아래로 내려가는 부분이 1,4사분면쪽에 위치해야 하므로 축의 방정식 t=3/2 의 그래프가 1,4사분면쪽에 위치해야 합니다. 즉, 3/2 >0이어야 합니다. 근데 이는 이미 자명히 성립합니다. (여기서는 새로운 조건식이 안 나오지요.)
3) 끝으로 '축이 양수쪽에 있다, 판별식이 양수다' 라는 조건 만족한다해도, f(0) = -a 가 0이하면 안 됩니다. (그러면 0 이하의 실근도 가져버리니까..) 따라서 f(0) = -a >0
1,2,3)으로부터 -9/4 0라는 조건을 암묵적으로 남기니까요. 이런 조건을 잘 캐치하시면 될 거 같습니다. 그리고 이차함수 그래프 배치 테크닉도 문제를 몇 개 풀어보셔서 잘 익히시는 게 좋고요.
개념을 완벽하게 복습하시는 것보다, 이렇게 문제를 풀면서 모르는 부분이 나올 때마다 그 개념 하나하나만이라도 완벽하게 익히자.. 라는 마인드로 하는 게 더 좋은 거 같아요. 모르는 게 조금 나왔다고 '아.. 다시 첨부터 다 복습해야 하나..' 이렇게 생각하지 마시고, '일단 이 부분만이라도 잘 이해하자..' 생각하고 해보세요. 물론 그 부분의 개념만 이해하고자 해도 더 앞부분을 일부 더 공부해야 하는 경우도 있으니, 그 정도까지는 보셔야겠지요. 괜히 전범위 복습하자라는 생각으로 가면 상당수 학생들이 많은 분량 앞에 공부 의욕만 꺾이게 되는 경우가 많은 거 같아서 하는 말입니다. (결국은 학생 개인의 의욕과 능력에 비추어서 따져봐야겠지만 대체로 저는 이게 낫다고 생각합니다.)
매번감사합니다 syzy님 괜히집까지걸어가서 고1교과서들고와서 집합부터보고있었네요..
근데 고1교과서를보면서느낀점은 판별식부분과 이차함수부분을 다시봐도 교과서랑 개념서에있는부분은 이미 제가 알고있던부분이였습니다 그러나 저런식으로 이 조건을 걸어서 문제를 풀어야할땐 아니왜이렇게풀었지? 라는상황이될수밖에없네요ㅠㅠ 이런점은 일단문제를많이풀어보고 틀려보고 왜틀렸는지확인하는과정에서 말씀하신관점으로접근해서캐치해나가야되는건가요?