[박재우] 안녕하세요 ^^

오르비 회원 여러분 오랜만입니다.

오르비 클래스 수학강사 박재웁니다.

더위가 가고 기분이 좋아질 것 같은데 곧 9월이네요.

수험생들은 시험이 현실로 느껴지기 시작하는 달입니다.

머 9평이 있어서가 아니구요. 그건 그냥 실전 연습이라고 생각하세요.

원서를 쓰게 되는 달이죠.

이게 말입니다. 원서를 쓰게 되면 기분이 묘해지고 바빠지게 됩니다.

이 것이 모든 컨디션이나 일정이 잘 관리되다가 흔들리게 되는 시발점이 되기도 합니다.

언제나 꾸준히 변함없이 앞만보고 가시기 바랍니다.

하고자 하는 사람은 못 할게 없다는 거 잘 아시죠 ?

저도 개인적으로 먼가를 이루기 위해 많은 준비를 하고 있습니다. 

에너지도 많이 되찾고

꽤나 희망적입니다. 저 개인적으로는요 ㅎㅎ

오늘은 미루어 놓았던 칼럼을 하나 쓸려고 합니다.

공부하다가 지친 머리를 식혀 보시기 바랍니다.

물론 더 뜨거워지는 분들도 있겠지만요. ㅋ

저번 칼럼 처럼 이미지도 부가해서 쓰겠습니다.

수학이나 물리같은 과목들은 어떠한 공식이 있을 때 그 구조를 유심히 들여다 보는

습관이 매우 중요합니다.

 대부분의 학생들은 미적분으로부터 왔다고들 얘기할 겁니다.

아닌가요 ? ㅋㅋ

그렇다면 미적분 이전까지의 사람들은 어떻게 이 공식을 얻어냈을까요 ?

특별히 천년전의 초기 그리스나 이집트 기하학자들은 어떻게 ?

수학자들의 역사들을 보다보면 재미있고 유용한 발견들을 볼 수 있습니다.

이제 이 공식을 얻게 되는 한가지 방법을 소개할 까 합니다.

비록 이 방법이 처음이라고는 볼 수는 없겠지만 다른 여타 흥미로운 것들 못지않게

좋은 방법이라고 생각합니다.

먼저 원리하나 소개할께요.

* Cavalieri의 원리 *

같은 높이를 갖고 각 높이에서 단면적이 같은 두 물체의 부피는 같다. 

이 원리를 이해하기 위해서 매우 큰 두 입체 (피라미드 같은)를 생각해 보시기 바랍니다.

각 높이에 대해 들어가 있는 가로세로높이 모두 1짜리인 벽돌들을 생각해보시면

모양이 서로 다르더라도 같은 개수가 사용되어 졌다고 할 때 전체 부피는 당연히 같겠죠 ?

당연 빈 공간이 없이 채워진 상태겠지요.

이제 구의 부피를 얻기 위해 이 원리를 적용해 보겠습니다.

먼저 두개의 입체를 생각해 볼텐데요

반지름이 r인 구 S와 높이가 2r이고 밑면의 반지름이 r인 직원기둥에서 

위 아래 두 개의 대칭 원뿔을  

뺀 도형 두 개를 생각해볼께요

그림이 엉망이지만 그려서 한 번 보겠습니다.

여기에 이제 카발리에리의 원리를 적용해 보겠습니다. 

같은 높이에서의 단면적이 같고 동일한 높이를 갖는 입체이므로

두 입체의 부피는 같습니다.

오른쪽 도형의 부피는 직원기둥에서 두 원뿔의 부피를 뺀 것이므로 

그래서 구의 부피가 저렇게 나온다는 것을 알 수 있습니다.

모양과는 무관하게 각자 생각을 독창적으로 할 수 있다는 게 중요합니다.

이해가 좀 되셨는 지요.

그런데 사실 이 원리는 이러한 특수한 형태의 입체의 부피를 구하는 것 뿐만아니라 

평면 상의 특정한 영역의 면적을 구하는 데도 사용되어질 수 있답니다.

단면적이 A이고 높이가 1인 기둥의 부피는 A 그러니까 단면적과 같습니다.

물리에서 이런 경우를 많이 적용하는 것을 아는 분들도 많이 계실겁니다.

암튼 이런 방법을 이용하여 면적을 한 번 구해보겠습니다.

물론 미적분을 알고 있다면 쉽게 얻을 수 있겠죠.

미적분 없이 설명은 그럼 어떻게 할 수 있을까요 

오른쪽 그림의 꼭지점 표현이 원점에 있는 것 처럼 오해의 여지가 있어서 

아래쪽에 다시 그려 놓았습니다. 

   이해 되셨나요 ?

왼쪽과 오른쪽은 두 입체의 동일 높이에 해당하는 x축의 좌표에서 

동일한 단면적을 갖습니다.  

피라미드가 되는 것은 x좌표와 y 좌표가 (c, c/2) 로 바뀌어서 

직선이 되는 것은 아실겁니다.

그래서 두 입체의 부피는 같고 오른 쪽의 피라미드의 부피랑 비교하면 

이때 왼쪽 입체의 밑면적을 xy평면으로 다시 생각한겁니다.

도형의 모양과는 관계없이 생각해 낼 수 있다는 것, 그러니까 쉬운걸로 바꿀 수 있다는

것이 강점입니다.

요즘은 정사영 이면각이 잘 안나오는 추세지만 

예전에 이런 문제가 나온적이 있었죠.

기억니시나요 ?

어때요 ? 적용 가능하시나요 ^^

열공하고 좋은 결과 꼭 있길 바랍니다.