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은미르 [296419] · MS 2009 · 쪽지

2011-07-15 13:49:51
조회수 281

공간기하 두번째 문제입니다

게시글 주소: https://mission.orbi.kr/0001430476

(78.2K) [88]

스캔0010.pdf

이문제도 앞문제와 같이 깔끔한 풀이가 떠오르지
않아 문의드립니다
문제는 파일첨부합니다

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은미르 [296419]

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  • 엌ㅋ · 379624 · 11/07/15 14:30 · MS 2011
    회원에 의해 삭제된 댓글입니다.
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  • 콘실크 · 309984 · 11/07/15 21:00 · MS 2009

    아깐 너무 바보같은 글을 올려서.. 다급히 수정했습니다...-_-;;
    아직도 부끄럽네요.

    T(0,0,1)을 잡고, C(s,t,1)을 잡은뒤, 점 C를 중심으로 하고 P와 T를 지나는 구의 방정식을 생각해봅시다.
    이때 직선 OP와 구의방정식의 교점은 Q가 됩니다(OPxOQ=OT^2=1)<-OT가 접선이 되기때문
    Q(x,y,z)라고 두면 P(x/z, y/z,1)이 되겠지요(한직선위에 있으니)
    한편 구 위에 P,Q,T가 다 있기때문에 CP=CQ=CT입니다(반지름)
    즉
    1) s^2+t^2=(x/z-s)^2+(y/z-t)^2 (CT=CP)
    2) s^2+t^2=(s-x)^2+(t-y)^2+(z-1)^2(CT=CQ)
    이고 각각을 정리하면
    1) x/z (x/z-2s) +y/z (y/z -2t)=0
    2) x(x-2s) +y(y-2t)+(z-1)^2=0이 되며,
    2)에다가 1)의 z배를 빼면
    x^2- x^2/z +y^2 -y^2/z +(z-1)^2=0이고
    이걸 1-1/z로 나눠주니 x^2+y^2+z(z-1)=0이 나오는군요.
    즉 x^2+y^2+(z- 1/2)^2=(1/2)^2
    어떻게 풀긴 했는데, 계산이 너무 복잡하네요..;;

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  • 은미르 · 296419 · 11/07/16 09:15 · MS 2009

    그런데 T와 C가 어떻게 나온 좌표인가요? 두 좌표를 왜 설정했는지 잘 이해가 가지 않아요...

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  • 콘실크 · 309984 · 11/07/16 10:29 · MS 2009

    OPxOQ=1이라고 문제에 조건이 나왔습니다. 그리고 P,Q가 한 직선위에 있다고 했지요.
    이건 원과 할선?의 성질에서 나온 형태입니다. OPxOQ=OT^2(직선 OT는 접선)
    이 식을 활용해주기 위해 OT의 길이가 1이되도록 설정하고, OT가 구 C의 접선이 될수 있도록 설정한 것입니다.

    다시보니 정말 바보같이 풀었네요 ㅡㅡ;; 새풀이 올릴게요
    Q의 좌표를 (x,y,z)로 두면 P는 O,Q와 한 직선위에 있으니
    P의 좌표는 (x/z,y/z,1)이 되지요(z좌표가 1이니)
    OQ의 길이를 R이라 하면, OP의 길이는 R/z가 됩니다.
    따라서 OQxOP=R^2/z=1즉 R^2=z
    R^2=x^2+y^2+z^2이므로 구하는식은 x^2+y^2+z^2=z
    x^2+y^2+(z- 1/2)^2=(1/2)^2

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